贵州省望谟三中2020-2021学年高二下学期4月月考文科数学试题I 卷一、选择题1． 下列命中，正确的是（ ）A ．|a |＝|b |⇒a ＝bB ．|a |＞|b |⇒a ＞bC ．a ＝b ⇒a ∥bD ．｜a ｜＝0⇒a ＝0【答案】C2．已知向量a ),2(x =，b )8,(x =，若a ∥b ，则x = ( ）A ．4-B ．4C ．4±D ．16 【答案】C3．已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足：PA PB PC 0++=，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为 ( ）A ．3B ．23C ．2D ．8 【答案】A4．O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足()()02=-+⋅-，则△ABC 的形状一定为A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．斜三角形 【答案】C5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16【答案】D6．若向量(1,2),(1,1)a b ==-,且ka b +与a b -共线,则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．1-【答案】D7．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )A ．－π4B ．π6C ．π4D ．3π4 【答案】C 8． 已知a ＝（3，2），b ＝（－1，0），向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为（ ）A ．12 B ．－12 C ．17 D ．－17 【答案】D9．若规定向量的运算符号“⊗”的运算规则为：a ⊗b ＝a ·b －|a |·|b |·1－(a ·b |a |·|b |)2(其中的a ·b 表示向量a 与b 的数量积)，若|a |＝2，|b |＝3，则a ⊗b 的最小值为( )A ．－6B ．－6 2C ．－3D ．2【答案】B10．已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a ·b 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D11． 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A ．一条线段B 、一段圆弧C 、圆上一群孤立点D ．一个单位圆【答案】D12．如图所示，已知,,,,2c OC b OB a OA BC AB ====则下列等式中成立的是（ ）A ．a b c 2123-=B ．a b c -=2C ．)b a c -=2D ．b a c 2123-= 【答案】A 解析：由OB OA OC ），OC BO （OB AO BC AB 3222+-=+=+=即得，即a b c 2123-=。

II 卷二、填空题13．如图所示,OP OC 2=,AC AB 2=,OB m OM =,OA n ON =,若83=m ,那么=n【答案】43 14． 直线l 上有不同三点,,A B C ，O 是直线l 外一点，对于向量cos )OA OB α=（1-+ sin OC α(α是锐角）总成立，则α=_________________；【答案】04515．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________.【答案】2 216． 若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且＝a ，＝b ，则＝________.【答案】b -12a三、解答题17．已知ABC △的面积为1，且满足2≥⋅AC AB ，设AB 和AC 的夹角为θ．(1）求θ的取值范围；(2）求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=4cos 22cos 3)(2πθθθf 的最小值． 【答案】（1）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 21=θbc ，2cos ≥θbc ， 可得1cot ≥θ，⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∴4,0πθ． (2）132sin 24cos 22cos 3)(2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=πθπθθθf ⎥⎦⎤ ⎝⎛∈4,0πθ ，⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+∴65,332πππθ， 所以，当6532ππθ=+，即4πθ=时，.0)(min =θf 18．已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )．(1)求证：向量a 与向量b 不可能平行；(2)若a ·b ＝1，且x ∈[－π，0]，求x 的值． 【答案】 (1)证明：假设a ∥b ，则2cos x (cos x ＋sin x )＝sin x (cos x －sin x )． 即2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin x cos x －sin 2x,1＋sin x cos x ＋cos 2x ＝0，1＋12sin2x ＋1＋cos2x 2＝0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－3⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－322． 而sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－1,1]，－322<－1，矛盾．故假设不成立，即向量a 与向量b 不可能平行．(2)a ·b ＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，19．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点分别是A （-1，-2），B （0，1），C （3，2）。

①求直线BC 的方程；②求平行四边形ABCD 的面积；【答案】①因为B(0,1),C(3,2),由直线的两点式方程得直线BC 的方程是033030121=+-⇒--=--y x x y ②由点A 到直线BC 的距离是510410361=++-=d ，10=BC ， 所以d BC S ABC •=∆21，即得4=∆ABC S ，所以平行四边形ABCD 的面积是82==∆ABC ABCD S S20．已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标【答案】设a 的终点坐标为（ｍ，ｎ）则a ＝（ｍ－3，ｎ＋1）由①得：ｎ＝41（3ｍ－13）代入②得 25ｍ2－15O ｍ＋2O9＝O解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.58,511.52,5192211n m n m 或∴a 的终点坐标是（)58,511()52,519--或 21．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC •【答案】(1)(8,),820AB n t AB a n t =-⊥∴-+= 又2225||||,564(3)5OB AB n t t =∴⨯=-+=,得8t =± (24,8)OB ∴=或(8,8)OB =--(2)(sin 8,)AC k t θ=-AC 与a 向量共线, 2sin 16t k θ∴=-+232sin (2sin 16)sin 2(sin )4k t k k kθθθθ=-+=--+ 4,104k k ∴>∴>>,∴当sin 4k θ=时，sin t θ取最大值为32k由324k =，得8k =，此时,(4,8)6OC πθ== (8,0)(4,8)32OA OC ∴•=•=22．已知△ABC 中，(1)若|AC |，|BC |，|AB |成等比数列， BA ·BC ，AB ·AC ，CA ·CB 成等差数列，求A ；(2)若BC ·(AB ＋AC )＝0，且|AB ＋AC |＝4,0<A <π3，求AB ·AC 的取值范围． 【答案】(1)法一：由题意可知：|BC |2＝|AC |·|AB |， ∵BA ·BC ，AB ·AC ，CA ·CB 成等差数列， ∴2AB ·AC ＝BA ·BC ＋CA ·CB＝BC ·(BA －CA )＝|BC |2，又∵AB ·AC ＝|AB ||AC |cos A ，∴cos A＝12，∴A＝π3．法二：由题意可知：|BC|2＝|AC|·|AB|，∵BC·BC，AB·AC，CA·CB成等差数列，∴2AB·AC＝BA·BC＋CA·CB，即2| AB||AC|cos A＝|BA||BC|cos B＋|CA||CB|cos C，由|BC|2＝|AC|·|AB|得：2|BC|2cos A＝|BA||BC|cos B＋|CA||CB|cos C，∴2|BC|cos A＝|BA|cos B＋|CA|cos C，由正弦定理得：2sin A cos A＝sin C cos B＋sin B cos C＝sin(B＋C)＝sin A，∵0<A<π，∴sin A≠0，∴cos A＝12，A＝π3．(2)∵BC·(AB＋AC)＝0，∴(AC－AB)( AB＋AC)＝0，∴AC2＝AB2，即|AC|2＝|AB|2.∵|AB＋AC|＝4，∴|AB|2＋|AC|2＋2AB·AC＝16，即|AB|2＋|AC|2＋2|AB||AC|cos A＝16，则|AB|2＝81＋cos A，∴AB·AC＝|AB||AC|cos A＝|AB|2cos A＝8cos A1＋cos A ＝81＋1cos A(cos A≠0)．∵0<A<π3，∴12<cos A<1,1<1cos A<2，∴83<AB·AC<4.。