l


Rl l1a1 l2a2 l3a3
量子力学如何描述一个自由粒子？
4
根据原胞基矢定义三个新的矢量 —— 倒格子基矢量
a2 a3 b1 2 a1 a2 a3
以
a3 a1 b2 2 a1 a2 a3
13
先想清楚1维是怎么回事！
14
例： 证明 体心立方晶格的倒格子是面心立方
由倒格子定义
体心立方格子原胞基矢
15
倒格子基矢
a 3 a1 2 同理 b2 2 (i k ) a1 a 2 a 3 a a1 a 2 2 b3 2 (i j ) a1 a 2 a 3 a
N
dr r N
32
布里渊区（BZ）

熟悉实例：1维，2维，3维 … …
2
Fourier Transformation is an useful tool
1 ourcase: x 2k 2 k

n
inx e

3
如何表述原子作为点粒子分布在 Bravais点阵上？
r r Rl
1
倒点阵（倒格子）
从物理的角度，也许该先理解X射线衍射实验，之后再引入倒格 子概念 定义（同样适用于一维和二维） 针对反映平移周期性的Bravais晶格(简单) 与正格子的关系

与晶面指数的关系：倒格子矢量对应晶面 体积关系：互为倒数 正点阵的周期性函数可以按倒格矢展开为傅里叶级数 特别是第一布里渊区（1st BZ）
a1 a2 b3 2 a1 a2 a3
为基矢构成一个倒格子 —— 倒Bravais格子 —— 倒格子空间是正格子的倒易空间
2 (i j ) 倒格子基矢的性质 ai b j 2 ij 0 (i j )
5
—— 晶格具有周期性，一些物理量具有周期性 势能函数 势能函数是以
28Βιβλιοθήκη —— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
29
30
为何 “特别是1st BZ” ？
定义在格点上的物理量的FT仅仅需要用到 1st BZ的波矢 后面的格点模型将要详细看到这点
31
较完整的格点FT表述
FT – Fourier transformation
Poisson summation formula 1 1 f r f r Rl f r Rl N l N 特殊情况：
iK r R e l l h
h r
iK h r F K e h h
正点阵 (布拉维)
倒点阵
1 iK h r r r R e , l h l k k K h e ik Rl h l
iGh1h2 h3 x
V ( x)
—— 积分在一个原胞中进行 例子？
9
—— 倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积
(2 ) *
3
10
2）正格子中一簇晶面
和
正交
—— 可以证明
Gh1h2h3 CA 0
Gh1h2h3 CB 0
与晶面族正交
11
3）倒格子矢量
为晶面
晶面方程
的法线方向
各晶面到原点的距离
ai b j 2ij
面间距
2 d h1b1 h2b2 h3b3
12
4) 倒格子的 “倒格子” 是什么？
(a1 , a2 , a3 ) (b1 , b2 , b3 ) (c1 , c2 , c3 ) ?
—— 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格 点的密度越大，这样的晶面越容易解理
18
能够把倒格子空间定义成复式的吗？


逻辑自洽 物理上有用
19
二维倒格子基矢
20
21
22
• 布里渊区, 特别是第一布里渊区（1st BZ）
—— 在倒格子空间把 原点和所有倒格矢中 点的垂直平分面画出， 倒格子空间分割为许 多区域
26
—— 第一布里渊区
原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体 (菱
形十二面体)
27
3) 面心立方格子 —— 正格子基矢
—— 倒格子基矢
— 边长
的体心立方格子
—— 第一布里渊区为原点和 8个近 邻格点连线的垂直平分面围成的正 八面体，和沿立方轴的 6 个次近邻 格点连线的垂直平分面割去八面体 的六个角，形成的14面体
为周期的三维周期函数
6
由倒格子基矢
得到
代入
7
—— 正点阵的周期性函数可以按倒格矢展开为傅里叶级数 原胞里任一点 晶格周期性函数 宗量
傅里叶级数
为整数
8
得到
V ( x)
h1 , h2 , h3

Vh1 , h2 , h3 e
iGn1n2 n3 x
Vh1 , h2 , h3
1 dxe a1 a2 a3
23
几种晶格的布里渊区
1) 简单立方格子 正格子基矢
倒格子基矢
—— 简单立方格子 —— 第一布里渊区为原点和 6个近邻格点的垂直平分面围 成的立方体
24
—— 第一布里渊区
25
2) 体心立方格子 —— 正格子基矢
—— 倒格子基矢
— 边长
的面心立方格子
—— 第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直平分 面围成的正十二面体
可见由
2 ( j k) a
为基矢构成的格子为面心立方格子
16
1.6 如果基矢 的面间距为：
构成简单正交系，证明晶面族
并说明面指数简单的晶面，其面密度比较大，容易解理 简单正交系 倒格子基矢
17
倒格子基矢
倒格子矢量
晶面族
的面间距
1 h 2 k 2 l 2 ( ) ( ) ( ) a b c
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
Solid State Physics
晶体结构 晶体的结合 晶格动力学 能带论 金属电子论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 晶格的描述 2 倒格子 3 晶体的宏观对称性、群定义 4 点群、空间群与晶格分类 5 晶体X射线衍射 6 准晶