x 0
注: 1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;
2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势. 3.零是唯一可以作为无穷小的数.
无穷小和极限的关系:
定理 变量 u 以A为极限的充分必要条件是：变量 u 可以表示为 A 与一个无穷小量的和。即 lim u A u Aa ，
其中a 是无穷小 。
x sin
1 1 sin sin 1 ， 即函数 x x
1 x 是当 x 0 时的无穷小，
例 题 三
解
n 1 1 2 2 求 lim ． 2 n n 2 n n
1 2 n 1 1 2 n 1 n(n 1) n 2 n 2 2 2 2 2 n n n n 2n 2n2
的铅直渐近线
x x0
例 题 五
1 曲线y 的铅直渐近线方程为？ x
例 题 一
1 1 因为 lim 0 所以函数 为当 x时的无穷小 x x x
x 1
因为 lim (x 1) 0 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小
因为 lim (x 1) 0 所以函数为 x1 当 x1 时的无穷小
x 1
因为 lim 因为 lim
1 0 1 所以数列{ }为当 n时的无穷 n n 1 n 1
1 0 1 所以数列{ }为当 n时的无穷小 n n 1 n 1
无穷小的性质
•性质1 有限个无穷小的和也是无穷小 •性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •性质3 常数与无穷小的乘积是无穷小
•性质4 有限个无穷小的乘积也是无穷小
举例: 当x0时 x与sin x都是无穷小 所以xsin x也是 当x0时的无穷小 1 当 x时 是无穷小 arctan x 是有界函数 x 1 所以 arctan x 也是无穷小 x
例 题 二
x sin 求 lim x0
1 x
．
当 x 0 时， 函数 x 为无穷小， 而 是有界函数，由性质 2 知， 故 1 lim x sin 0 x 0 x
x x0
0
0
一、无穷小
定义 以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).
. 例如, lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小
1 1 lim 0, 函数 是当x 时的无穷小 . x x x ( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
3．无穷大与自变量某一变化过程有关．
定理2(无穷大与无穷小之间的关系) 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小,且 f ( x) 0 , 则 f ( x)
注 与无穷小不同的是，在自变量的同一变化过程中， 两个无穷大相加或相减的结果是不确定的．因此无穷大 没有和无穷小那样类似的性质，须具体问题具体分析．
例 题 四
即
1 求 lim x 1 x 2 1 .
解
2 x 1 x 当 时， 1是无穷小，由定理 2 知，
1 x 2 1 是 x 1 时的无穷大，
1 lim 2 x 1 x 1
铅直渐近线
如果 lim f (x) 则称直线 x x0 是函数 yf (x)的图形
n2 n 1 n 1 1 2 lim 2 2 2 lim 2 n n n n n 2n 2
所以
注 无穷多个无穷小之和不一定是无穷小．
二、无穷大
定义2： 如果当xx0(或x)时 对应的函数值的绝对值|f(x)| 无限增大 那么称函数 f(x) 为 xx0( 或 x) 时的无穷大 记为 lim f (x) (或 lim f (x) )
2.3 无穷小与无穷大
*无穷小 *无穷大
复习引入 lim an A
n
x x0 x
an A f ( x) A
(n ) ( x x0 , x )
lim f ( x) A,来自lim f ( x) A
极限存在都需要刻画两个无限变化过程.
定理 : lim f ( x ) A f ( x ) f ( x ) A .
x x0
x
注 1．函数 f ( x) 当 x x0 （或 x ）时为无穷大，按 照函数极限的定义来说，极限是不存在的，但为了表示 函数的这一性态，我们也说函数极限是无穷大，并记作
x x0
lim f ( x)
f ( x) ） （或 lim x
．
2．无穷大不是一个很大数，而是一个变量，且在自变 量的某个变化过程中其绝对值无限增大．