f (x)
(2) lim
k 0
xx0 g ( x)
称x→x0 时， f (x) 与g (x) 是同阶的无穷小。
特别地，
当k=1 时,称 f (x) 与g (x)是等价无穷小。
记为: f (x) ~ g(x)
(x x0 )
x3
lim
x0
6x2
0
x0 时
x3 o( 6x2 )
lim sin x 1 x0 x
5x
lim
3x
3
x0 5x 5
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
tan
x(1 cos x) x3
lim
x0
x 1 x2 2 x3
1 2
tan x sin x
lim
x0
x3 lim ( tan x sin x )
x0 x3
x3
lim
x0
tan x x3
lim
x0
sin x x3
lim x0
无穷小量相乘除的情况,对
于两个无穷小量相加减的情
况不能用替换定理。
lim
x0
tan
x sin x3
x
lim
x0
xx x3
例如：1 cos x
lim
x0
sin x 1 cos x ~ 1 x2
1 x2
2
lim 2 0
x0 x
常用等价无穷小 :
ln(1 x) ~ x ex 1 ~ x
上述式子中的 x 位置上可以是 x 本身, 也可以是x 的某个函数。
例如 :
函数 当
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
在
时，
指出下列函数中的无穷小量
定理1.5 ( 无穷小与函数极限的关系 )
函数 f (x)在 x x0时以常数A为极
限的充分必要条件是在 x 时x0
f (x) A 为无穷小量。
1.5.2 无穷小量阶的比较 对无穷小量进行阶的比较是：
为了考察两个无穷小量趋于0的速度。
设 f (x) 、g (x) 为x→x0 时的无穷小,如
果(1) lim f (x) 0 xx0 g ( x)
记为: f (x) o(g(x))
(x x0 )
称x→x0 时， f (x) 是比g (x) 高阶的无穷小；
所以 , 当 x 0 时
sin x ~ x
lim tan x 1 x0 x
所以 , 当 x 0 时
tan x ~ x
lim arcsin x 1
x0
x
所以 , 当 x 0 时
arcsin x ~ x
又如 1 cos
lim
x0
x2
x
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
sin x 2
1 lim (3sin x x cos 1)
2 x0 x
x
1 (lim 3sin x lim x cos 1)
2 x0 x
x0
x
1 (3 0) 3
2
2
y1 x
x
1 2
,
1 3
,
1 4
,
1 5
,
0
y 2, 3, 4, 5,
替换定理:
设
且
存在 ,
则 lim f1(x) g1 ( x)
例如, x 0
tan x ~ x sin x ~ x
lim
x0
tan sin
x x
lim
x0
x x
1
此定理表明,求两个无 穷小之比的极限时,分子 分母都可用等价无穷小 来代替相应的部分,以简 化极限计算过程。
注意：
替换定理只能用在两个
例如, lim tan 2x tan 2x ~ 2x
x0 sin 5x
lim 2x 2 sin 5x ~ 5x x0 5x 5
lim
x0
ln( 1
x) sin x2
3x
lim
x0
x 3x x2
3
1
例2.
求
lim
(1
x2)3
1.
解: x0 cos x 1
练习：lim arcsin 3x
x0
即
lim f (x) A
x x0
lim [ f (x) A] 0
xx0
即
lim f (x) A
x x0
f (x) A
lim 0
xx0
定理对自变量的其它变化过程也成立.
无穷小的性质：
当x→x0时,如果f(x)、g(x)均为 无穷小,则当x→x0时: (1)f(x)±g(x)为无穷小；
由此可知有限个无穷小量的和
仍是无穷小量。
(2)无穷小与无穷小的乘积是仍 是无穷小。
由此可知有限个无穷小量的乘积
仍是无穷小量。
(3)有界变量与无穷小的积是仍是 无穷小.
常数与无穷小的乘积仍是无穷小。
例如. 求 lim x2 sin 1
x0
x
sin 1 1 lim x2 0
x
x0
lim x2 sin 1 0
lim
3sin
xx2cos Nhomakorabea1 x
x0 (1 cos x)x
lim (
1
3sin
x
x2
cos
1 x
)
x0 1 cos x
x
lim
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
x0 1 cos x x0
x
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
2 x0
x
1 3sin x
1
lim (
x cos )
2 x0 x
x
x x3
lim x0
x x3
lim x0
1 x2
lim x0
1 x2
0
sin 3x x
lim
x0
x2
lim
x0
3x x2
x
lim
x0
(
sin x
3x
2
x x2
)
lim
x0
sin 3x x2
lim
x0
1 x
罗必达法则
思考与练习
ln(1 x)～ x
3 2
ln(1 x)～ x
x0
x
lim
arctan
x
?
x x
引例 . x 0 时,
3 x , x2 , sin x 都是无穷小,但
lim
x0
x2 3x
0
,
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x x2
,
lim
x0
3x x2
x 0.5 0.1 0.01 0.001 0 3x 1.5 0.3 0.03 0.003 0 x2 0.25 0.01 0.0001 0.000001 0
sin
x 2
2 lim 2 2 lim 2
x 0
x
1
lim
x0
sin
x
2
2
x 2
0
x 2
x
2
1 2
lim1
x0
cos x2
x
1 2
故
时
与 x 2 是同阶无穷小,
且有 lim 1 cos x x0 1 x2 2
2 lim 1 cos x 1 x0 x2
所以 1 cos x ~ 1 x2 2
1.5 无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三,无穷小与无穷大的关系
y x2
x 1 , 1 , 1 , 1 , 0 2345
1111 y 22 , 32 , 42 , 52 ,
0
1.5.1 无穷小 (infinitesimal)
定义1 . 如果 lim f (x) 0
则称
xx0
函数f(x)是x→x0时的无穷小量。