y
f (x) ? 1
x?1
01
xx
x?1
C. 无穷小与无穷大的关系
在同一过程中 ,无穷大的倒数为无穷小 ;恒 不为零的无穷小的倒数为无穷大 .
证 设 lim f ( x ) ? ? . x? x0 ? ? ? ? 0, ? ? ? 0, 使得当 0 ? x ? x 0 ? ?时
恒有 f ( x ) ? 1 , 即 1 ? ?.
即 | f ( x ) ? A |? ?
? lim f ( x ) ? A x? x0
基本极限定理的意义
（1）将一般极限问题转化 为特殊极限问题 （无穷小）；
（2）给出了函数 f ( x ) 在 x0 附近的近似表
达式 f ( x ) ? A, 误差为 ? ( x ).
B. 无穷大（量）
考虑
? ? 1
证明：必要性（ ? ） ? lim f ( x) ? A x? x0 ? ? ? 0，? ? ? 0，当 0 ? | x ? x0 |? ? 时，有 | f ( x ) ? A |? ?
令? (x) ? f (x)? A，
则有 | ? ( x ) |? ? ，即 lim ? ( x ) ? 0 x? a
（1）无穷大是变量 ,不能与很大的数混淆 ; （2）切勿将 lim f ( x ) ? ? 认为极限存在 .
x? x0
（3）无穷大是一种特殊的无界变量 ,但是无 界变量未必是无穷大 .
f ( x )无界：? M ? 0, ? x0 , 使 | f ( x0 ) |? M
例如, 当x ? 0时, y ? 1 sin 1 xx
思考题
若 f ( x ) ? 0，且 lim f ( x ) ? A ， x ? ??
问：能否保证有 A ? 0 的结论？试举例说明 .
解：不能保证 .
例 f (x) ? 1 x
? x ? 0, 有 f ( x ) ? 1 ? 0 x
lim f ( x ) ? lim 1 ? A ? 0.
x ? ??
分析：? M ? 0， 要 使| 1 |? M
x?1
只 要 | x ? 1 |? 1 , 取? ? 1
M
M
定义 如 果lim f ( x ) ? ? ， 则 称 直 线x ? a 为 曲 线y ? f ( x) x? a 的 铅 直 渐 近 线。
例 lim 1 ? ? 。 x? 1 x ? 1
直线 x ? 1为曲线 y ? 1 的铅直渐近线 。 x?1
但 y( x k?) ? 2k ?? sin 2k ?? ? 0 ? M . 不是无穷大．
例 证 明 lim 1 ? ? 。 x? 1 x ? 1
y
f (x) ? 1
x?1
解：
01
x
? M ? 0， 取? ?
1 ,
M
使 得 当0 ? | x ? 1 |? ? 时 ， 必 有| 1 |? M
x?1
即 lim 1 ? ? x? 1 x ? 1
? f 的无穷小） 充分性（ ? ）f ( x ) ? A ? ? ( x ) （? 是 x ? x 0 时的无穷小）
即 f (x)? A ? ? (x)
由于 ? ( x) 是 x ? x0 时的无穷小
? ? ? 0，? ? ? 0，当 0 ? | x ? x0 |? ? 时，| ? ( x ) |? ? ；
是一个无界变量 , 但不是无穷大 .
y ? 1 sin 1 xx
(1) 取 x k ?
1 ?
2k? ?
(k ? 0,1,2,3,? )
2
y(xk ) ?
2k? ? ? , 2
当k充分大时 , y( x k ) ?
M.
无界.
(2)
取
xk?
?
1 2k ??
(k ?? 0,1,2,3,? )
当 k ?充分大时 , x k? ? ? ,
2.2.3 无穷小与无穷大
A. 无穷小（量）
定义 : 如果 lim f ( x ) ? 0, 则称函数 f ( x )是x ?
x? x0
x? ?
x?
x0
?
时的无穷小量或无穷小 。
在自变量的某一趋势过程中函数的极限为零，则 称此函数在此变化过程中为一无穷小量。
lim x ? 0
x? 0?
1 lim ? 0 x x ? ??
x x ? ??
练习题
一、填空题:
1、凡无穷小量皆以 ____0____ 为极限 .
? 当x ?
x 0时,
f
1 为无穷大. (x)
意义 ：
关于无穷大的讨论 ,都可归结为关于无穷小 的讨论 .
其他性质
（1）在x的某趋限过程中，若 函数f ( x ) 是无穷大， 函数g( x )是有界量，则 f ( x ) ? g( x ) 是无穷大。
（2）在x的某趋限过程中，若函数 f ( x ) 是无穷大， 函数g( x )满足 | g( x ) |? M，其中M是某一正常数， 则f ( x )g( x )是无穷大。
?
f (x)
? 当x ?
x 0时,
f
1 为无穷小. (x)
反之,设 lim f ( x ) ? 0,且 f ( x ) ? 0. x? x0
? ? M ? 0, ? ? ? 0,使得当0 ? x ? x 0 ? ?时
恒有 f ( x ) ?
1 ,
M
由于 f ( x ) ? 0,
从而 1 ? M . f (x)
lim x? 0 x
定义
y
f (x) ? 1 x
0
x
设函数 f ( x )在x0的某去心邻域内有定义 ，如果对任意
M ? 0，都存在 ? ? 0，使得当 0 ? | x ? x0 |? ? 时，必有
| f ( x ) |? M ,则称函数 f ( x )为x ? x0时的无穷大（量） 记为 lim f ( x ) ? ?
称当 x ? 0? 时， x是无穷小 称 当 x ? ?? 时 ，1 是 无 穷 小
x
无穷小是变量，也称无 穷小量。
0是无穷小，但绝对值极 小的数并非无穷小。
定理5（基本极限定理）
lim f (x) ? A ?
x? x0
f (x) ? A ? ? ( x)，? ( x) 为 x ? x0 时的无穷小。
x? x0
试一试 lim f ( x ) ? ? x? ? ? M ? 0，? X ? 0，当 | x |? X 时，| f ( x ) |? M。
若 f ( x ) ? M，则 f ( x ) ? ?? ；（正无穷大） 若 f ( x ) ? ? M，则 f ( x ) ? ?? 。（负无穷大）
注意：