4.若函数f(x)在开区间(a,b)上具有单调性.则当函数f(x) 时在闭区间[a,b]上连续,那么单调区间可以扩大到闭 区间[a,b]上.
5.利用导数的符号来判断函数的单调区间,是导数几何 意义在研究曲线变化规律的一个应用,它充分体现了 数形结合的思想.
1 ( x ) cos x . 解:(1)函数的定义域是R, f 2 1 2 2 cos x 0 ,解得 2k x 2k (k Z ). 令 2 3 3
1 2 4 cos x 0 ,解得 2k x 2k (k Z ). 令 2 3 3 2 2 因此,f(x)的递增区间是: (2k ,2k )( k Z ); 3 3 2 4 递减区间是: (2k 3 ,2k 3 )( k Z ).
b 例2.求证：函数f ( x) ax ( a 0, b 0) x b 在区间 , )内是增加的. a
1 例3.已知函数f ( x) 2ax 2 , x (0,1 x 若f ( x)在区间(0,1内是增函数，求实数a 的取值范围.
导数与函数的单调性 （二）
例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范 围,并求其单调区间. 2 解: f ( x ) 3ax 1. 若a>0, f ( x ) 0 对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾. 若a=0, f ( x ) 1 0, 此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾. 若a<0,则 f ( x ) 3a( x 恰有三个单调区间. 故a<0,其单调区间是: 单调递增区间: ( 单调递减区间: ( ,
导数与函数的单调性 （一）
引例 如何确定函数f(x)=x3 －6x2+9x-3在哪个 区间内是增加的?哪个区间内是减少的?
用定义法判断函数单调性的步骤： （1）在给定的区间内任取x1<x2; ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形; （3）判断符号; （4）下结论。
发现问题
单调性定义讨论函数单调性是根本， 但有时十分麻烦，尤其是在不知道函 数图象时,如： f(x)=2x3－6x2+7。 这就需要我们寻求一个新的方法。
(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1
1 1 x 1 . 解:函数的定义域是(-1,+∞), f ( x ) 2 1 x 2(1 x )
由 f ( x ) 0 即
x 1 0,得x>1或x<-1(舍）. 2(1 x )
由 f ( x ) 0 解得-1<x<1 故f(x)的递增区间是(1,+∞); f(x)的递减区间是(-1,1). 说明:函数的单调区间必定是它的定义域的子区间,故 求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义 域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与 定义域求两者的交集.
1 3a )和( 1 3a 1 3a )( x 1 3a ) ,易知此时f(x)
1 3a
,
1 3a
).
,).
1 例3:当x>1时,证明不等式: 2 x 3 . x
1 证:设 f ( x ) 2 x 3 x , 显然f(x)在[1,+∞)上连续,且f(1)=0. 1 1 1 1 f ( x ) 2 (1 ). x x x x x
故f(x)的递增区间是(0,100). 同理由 f ( x ) 0, 得x>100,故f(x)的递减区间是(100, +∞). 说明:(1)由于f(x)在x=0处连续,所以递增区间可以扩大 到[0,100)(或[0,100]). (2)虽然在x=100处导数为零,但在写单调区间时, 都可以把100包含在内.
x , x [0,) 的单调区间. 练习1:确定函数 f ( x ) x 100 1 50 x ( x 100) x 解: 2 x ( x ) 2 x f ( x 0). 2 2 ( x 100) ( x 100) 50 x 0 0 x 100; 令 f ( x) 0 注意到 x 0, 2 x
例1:求函数f (x)=x3-6x2+9x-3的递增区间与递减区间.
解:函数定义域为R,f ' (x)=3x2-12x+9 令3x2-12x+9>0,解得x>3或x<1,因此,当 x ( 3,) 或 x (,1)时, f(x)是增加的.
令3x2-12x+9&l 减少的. 故f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)内是增加的,在(1,3)内是 减少的.
练习2:已知 0 x , 求证: tan x x. 2
练习3:已知 x 1, 求证:x ln(1 x).
p 例4.设f ( x) px 2 ln x x (1)若f ( x)在其定义域内为单调递增函数， 求p的取值范围； 2e (2)设g ( x ) 且p 0, 若在 1，e 上至少 x 存在一点x0，使得f ( x0 ) g ( x0 )成立，求 实数p的取值范围.
例1.求函数 f ( x) x ax x2 ( a 0) 的单调区间 解:函数的定义域是[0,a],且当x≠0,a时,有:
f ( x ) ax x
2
x(a 2 x ) 2 ax x 2

x( 3a 4 x ) 2 ax x 2
.
由f ( x ) 0 及x (0, a ), 解得0<x<3a/4,故f(x)的递增区间 是(0,3a/4). 由f ( x ) 0 及x (0, a ), 解得3a/4<x<a,故f(x)的递减区间 是(3a/4,a).
例5:求函数 y 2 x 4 x 3 的值域. 解:函数的定义域是[-2,+∞),又易得: 2x 8 y . 2 2 x 4 x 3 (2 x 3 2 x 4 ) 当x>-2时, y 0, 即已知函数在(-2,+∞)上是增函数. 又f(-2)=-1,故所求函数的值域是[-1,+∞). 1 例6:证明方程 x sin x 0 只有一个根x=0. 1 3 1 证:设 f ( x ) x 3 sin x( x R), 则 f ( x ) 1 3 cos x >0恒成立. 故f(x)是R上的增函数. 而f(0)=0,故原方程有唯一根x=0.
y
1 3 1
从而我们可以画出函 数的大致图象.
0
x
3
利用导数讨论函数 单调的步骤: (1)确定函数的定义域 (2)求导数 f ( x ).
(3)解不等式 f ( x )>0得f(x)的单调递增区间;解不等式 f ( x ) <0得f(x)的单调递减区间.
三、综合应用:
例1:确定下列函数的单调区间: (1)f(x)=x/2+sinx;
显然,当x>1时, f ( x ) 0 ,故f(x)是[1,+∞)上的增函数.
1 所以当x>1时,f(x)>f(1)=0,即当x>1时, 2 x 3 . x
小结:利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一 种重要方法.其解题步骤是: 令F(x)=f(x)-g(x),x≥a,其中F(a)=f(a)-g(a)=0,从而 将要证明的不等式“当x>a时,f(x)>g(x)”转化为 证明: “当x>a时,F(x)>F(a)”.
y
1 1
o
－1
x
定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内有导数,如果在 这个区间内 y >0,那么函数y=f(x) 在这个区间内是增加 的;如果在这个区间内 y <0,那么函数y=f(x)在这个区间 内是减少的.
y
y=f(x) f '(x)>0
y
y=f(x) f '(x)<0
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f (x)为常数.
四、小结:
1.在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数 的定义域,解决问题的过程中,只能在函数的定义域内, 通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. 2.注意在某一区间内 f ( x ) >(<)0只是函数f(x)在该区间 上为增(减)函数的充分不必要条件. 3.利用求导的方法可以证明不等式,首先要根据题意构 造函数,再判断所设函数的单调性,利用单调性的定义, 证明要证的不等式. 当函数的单调区间与函数的定义域相同时,我们也 可用求导的方法求函数的值域.
引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变 量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增加量 与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来 研究单调性呢？
二、新课:
曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.
从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:
在区间(2,+∞)内,切线的斜 率为正,函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大,即 y>0 时,函数 y=f(x) 在区间(2, +∞)内为增加 的. 在区间(-∞,2)内,切线的斜 率为负,函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小,即 y <0 时,函数 y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减少 的.