§５ 无穷小量与无穷大量教学目的 ：理解无穷小（大）量及其阶的概念。

会利用它们求某些函数的极限。

教学要求 ：作为函数极限的特殊情形，要求掌握无穷小（大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。

引言在学习数列极限时，有一类数列非常引人瞩目，它们具有如下特征：lim a n 0 . 我们称之为无穷小数n列。

通过前面几节对函数极限的学习。

我们可以发现，在一般函数极限中也有类似的情形。

例如：limsin x 0,lim x 2 0,Lx 0x 0我们给这类函数一个名称——“无穷小量” 。

既然有“无穷小量” ，与之对应的也应有“无穷大量” ，那么什么时“无穷大量”？进一步，这些“量 ” 有哪些性质呢？以上就是我们今天要给大家介绍的内容——无穷小量与无穷大量。

一、无穷小量1．定义１ ：设 f 在某 U 0 (x 0 ) 内有定义。

若 lim f ( x)0 ，则称 f 为当 xx 0 时的无穷小量。

记作：xx 0f (x)0(1)(x x 0 ) .（类似地可以定义当 xx 0 , x x 0 , x, x, x时的无穷小量） 。

例：x k(k1,2, ),sin x ,1 cosx 都是当 x 0 时的无穷小量； 1 x 是当 x 1 时的无穷小量；L1 sin x, 是 x 时的无穷小量。

x 2x2．无穷小量的性质（１）先引进以下概念定义２ （有界量 ）若函数 g 在某 U 0 (x 0 ) 内有界，则称g 为当 x x 0 时的有界量，记作：g( x) O (1)(xx 0 ) .例如： sin x 是当 x 时的有界量，即sin x O (1)(x) ; sin 1是当 x0 时的有界量，即1xO(1)(x 0) .sinx注：任何无穷小量都是有界量（局部有界性），即若 f (x) 0(1)(xx 0 ) ，则 f ( x) O (1)(x x 0 ) .区别 ：“ 有界量 ”与“ 有界函数 ”。

一般在谈到函数 f 是有界函数或函数 f 是有界的，意味着存在Ｍ>０，f 在定义域内每一点 x ，都有 | f (x) | M 。

这里“有界”与点无关：而有界是与“点有关”，是在某点的周围（且除去此点）有界，是一种“局部”的有界。

（２）性质性质１ 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量。

性质２无穷小量与有界是的乘积为无穷小量。

性质３lim f ( x)Af ( x) A 是当 xx时的无穷小量lim( f ( x)A) 0.x x 0x x 0例如； lim x2sin10 ， lim( x 2 x 3 ) 0,lim xsin x0 .x 0xx 0x 0问题 ：两个（相同类型的）无穷小量之商是否仍为无穷小量？考虑：x 2x?,limx 2sin x1,lim2x 22 .lim0,lim221,lim2x 0xx 0xx 0xx 0xx 0x引申 ：同为无穷小量， lim x20，而 limx不存在？这说明“无穷小量”是有“级别”的。

这个“级x 0xx 0x 2别” 表现在收敛于０ （或趋近于０） 的速度有快不慢。

就上述例子而言， 这个“级别” 的标志是 x 的“指数”，当 x0 时， x 的指数越大，它接近于０的速度越快。

这样看来，当x0 时， x 2 的收敛速度快于 x 的收敛速度。

所以其变化结果以x 2 为主。

此时称 x 2 是（当 x0 时） x 的高阶无穷小量，或称 x0 时， x 是x 2 的低阶无穷小量。

一般地，有下面定义：１．无穷小量阶的比较（主要对x x 0 叙述，对其它类似）设当 xx 0 时， f , g 均为无穷小量。

（１）若 limf ( x) 0 ，则称 xx 0 时 f 为 g 的高阶无穷小量，或称g 为 f 的低阶无穷小量，xxg ( x)记作 f ( x) 0( g ( x))( xx 0 ) . 即 f ( x) 0( g ( x))( x x 0 )lim f ( x) 0 .x x 0 g(x)例 limx k 1x k 10( x k)( x0) ， lim1cos x lim tan x0 1 cos x 0(sin x)( x 0) .x 0x kx 0sin x x 02问题 lim1 x2 lim(1 x)20(1 x)( x 1) ？1 x0，此时是可说 1 xx 1x 1引申 与上述记法： f ( x) 0( g( x))( x x 0 ) 相对应有如下记法： f ( x) O ( g( x))( x x 0 ) ，这是什么意思？含义如下：若无穷小量f与 g 满足关系式 f ( x) L, x U 0 ( x 0 ) ，则记作 f ( x) O (g ( x))( x x 0 ) .g( x)例如，（１） 1 cos x O( x 2 )( x0) ， x(2 sin x) O (x)( x 0) .2（２）若 f (x) 0( g( x))( xx 0 ) f (x) O( g( x))( x x 0 ) .注等式 f (x) 0( g( x))( xx 0 ) ， f (x) O( g(x))( xx 0 ) 等与通常等式的含义不同的。

这里的等式左边是一个函数，右边是一个函数类（一类函数） ，而中间的“＝”叫的含义是“”。

例如：1 cos x0(sin x)( x0) ， 其 中 0(sin x)f | lim f (x) 0 ，而上述等式表示函数x 0 g( x)1 cosxf | lim f ( x) 0 。

为方便起见，记作 1 cos x 0(sin x).x 0 g (x)（２）若存在正数Ｋ和Ｌ，使得在某U 0( x 0 ) 上有 Kf (x)L ，则称 f 与 g 为当 xx 0时的g(x)同阶无穷小量。

但 需 要 注 意 ： limf ( x)不 存 在 ， 并 不 意 味 着 f 与 g 不 全 为 同 阶 无 穷 小 量 。

如x 0g( x)sin 1) x(2 sin 1 ) 1 ) 不存在。

但 1 x(2 sin 1) lim xlim x(20 ， lim x lim(2 sin x3 ，所 x 0x 0x x 0 x x 0x x以 x 与 x(2sin 1) 为当 x0 时的同阶无穷小量。

x由上述记号可知： 若 f 与 g 是当 xx 0 时的同阶无穷小量， 则一定有： f ( x) O( g( x))( xx 0 ) 。

（３）若 limf ( x) x 0 时的等价无穷小量，记作 f ( x) : g( x)( xx 0 ) .1 ，则称 f 与 g 是当 xx x 0g ( x)例如：１） sin x sin x : x( x0) ; ２） lim2(1 cos x)1 1 cos x :x 2 0) .lim12( xx 0 xx 0x2对于“等价无穷小量”有下面的重要的结论，它在求极限问题中有重要作用，称为求极限的“等价量法”。

定 理设 函 数 f 、 g 、 h 在 U 0 ( x 0 ) 内 有 定 义 ， 且 有 f (x) : g( x)( xx 0 ) . (1) 若lim f ( x) h( x) x x 0例１． 求 lim x x 0例２． 求极限A ，则 lim g( x)h( x)A ；(2)h( x)h(x)B.若 limB, ，则 limx x 0x xf (x)x xg (x)arctgx .sin4xtgx sin xlim 3.x x 0sin x注：在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代 , 而对极限式中相加或相减的部分则不能随意替代。

３．小结以上讨论了无穷小量，无穷小量性质。

无穷小量比较。

两个无穷小量可比较的特征——其商是有界量。

但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。

例如 lim x sin1lim x 2 0 .x x 0x x x 0二、无穷大量１．问题 “无穷小量是以０为极限的函数” 。

能否仿此说“无穷大量是以为极限的函数” 。

答：按已学过的极限的定义，这种说法是不严格的，讲Ａ为函数f (x) 当 xx 0 时的极限，意味着Ａ是一个确定的数，而“ ”不具有这种属性，它仅仅是一个记号。

所以不能简单地讲“无穷大量是以 为极限的函数” 。

但是，确实存在着这样的函数，当xx 0 时， f ( x) 与 ( or) 无限接近。

例如：１）f ( x) 1 ，当 x0 时， 1 与越来越接近，而且只要x 与０充分接近，1就会无xxx限增大；２） f ( x)1 ，当 x1 时，也具有上述特性。

x 1在分析中把这类函数 f (x) 称为当 xx 0 时有非正常极限。

其精确定义如下：２．非正常极限定义２ （非正常极限 ）设函数 f (x) 在某 U 0 (x 0 ) 内有定义，若对任给的Ｍ>0，存在0 ，当x U 0 (x 0 ; )( U 0 ( x 0 )) 时有 | f ( x) | M ，则称函数f ( x) 当 xx 0 时有非正 常极限，记 作lim f ( x)。

x x 0注：１）若“ | f ( x) | M ”换成“ f (x) M ”，则称 f ( x) 当 xx 0 时有非正常极限；若换成 f ( x)M , 则称 f (x) 当 xx 0 时有 非正常极限，分别记作 limf (x), lim f ( x).x x 0x x 02)关于函数 f 在自变量 x 的其它不同趋向的非正常极限的定义，以及数列a n当 n时的非正常极限的定义，都可类似地给出。

例如：lim f ( x)M 0 ，当 xM 时， f (x) M ;xlim a nM 0 ， N 0 ，当 n N 时， a nM .n３．无穷大量的定义定义３ ．对于自变量 x 的某种趋向（或 n），所有以, or为非正常极限的函数（包括数列），都称为 无穷大量 。

例如：1当 x0 时是无穷大量； a x (a 1) 当x时是无穷大量。

x 2注：１）无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数;２）若 f 为 xx 0 时的无穷大量，则易见 f为 U 0 (x 0 ) 上的无界函数，但无界函数却不一定是无穷大量。

例如； f ( x) x sin x 在 U ()上无界，但 limf ( x;３）如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量，也可以定)x义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念。

４．利用非正常极限定义验证极限等式例３ 证明lim 1 .x2x 0例４证明；当 a 1时， lim a x。

x三、无穷小量与无穷大量的关系定理 （１）设 f 在 U 0(x 0 ) 内有定义且不等于０，若f 为当 xx 0 时的无穷小量，则1为 xx 0 时f的无穷大量；（２）若 g 为 xx 0 时的无穷大量，则1为 xx 0 时的无穷小量。