x→2 →2
2
lim ( x + 3 x)
2
0 正解：∵ lim 正解 = = =0 ， x→2 x 2 + 3 x lim ( x 2 + 3 x) 10
x →2 x →2
x−2
lim ( x − 2)
x + 3x ∴ lim =∞ 。 x→2 x − 2
2
例.求下列极限
3x − 4 x + 2 ∞ （1） lim ( 型 ) 3 x→∞ 7 x + 5 x − 3 ∞ 3 4 2 − + 2 x x 2 x3 3x − 4 x + 2 解：※ 若 a0 ⋅b0 ≠ 0 ， m, n∈N + ，则 = 0 ； lim = lim 5 3 x→∞ 7 x 3 + 5 x − 3 x→∞ 7+ − 2 3 x ax 0 3 b , 当 m = n, 7 x + 5 x n−1 ∞ −3 （2） lim x n + a x +L型 0 ( + a) a0 2 1 x→ lim ∞ 3x − 4 xm−1 ∞ n = ∞, 当 m < n, +2 m x →∞ b x + b x +L+ bm 0 1 0, 当 m > n. 3 7 x +5x −3 解： lim =∞ 。 2 x→∞ 3 x − 4 x + 2
无穷小量和无穷大量
1.无穷小量 1.无穷小量
定义 1
若 lim X = 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当 x → 0 时， sin x 和 tan x 是无穷小量；
当 x → xo 时， x− xo 是无穷小量；
当 x → −∞ 时， a (a >1) 是无穷小量； 1 当 x → ∞ 时， 是无穷小量。 2 x
o
f (x) 为无穷大量 无穷大量，记为 无穷大量
x→ xo →x
lim f ( x) = ∞ ，或 f (x) → ∞ ( x → xo ) 。
若将上述定义中的不等式 f ( x) > G 改为 f ( x) > G 或 f ( x) < −G ，则称当 x → xo 时， f (x) 为正无穷大量 正无穷大量 负无穷大量，记作 或负无穷大量 负无穷大量
n
∴ arcsin x ～ x ( x → 0) ； ∴ arctan x ～ x ( x → 0) ；
x 1+ x −1 1 n ∵ lim = ， ∴ 1 + x − 1 ～ ( x → 0) 。 x→0 n x n
定理 2（1）若 X ～ Y ，则 X −Y = o( X ) = o(Y ) ；
2
无穷小量阶的比较: 无穷小量阶的比较
定义 3：设 lim X = 0 ， limY = 0 ，且 Y ≠ 0 ， X （1）若 lim = 0 ，则称 X 是 Y 的高阶无穷小量 高阶无穷小量， 高阶无穷小量 Y 记为 X = o(Y ) ；而称 Y 是 X 的低阶无穷小量 低阶无穷小量。 低阶无穷小量 X （2）若 lim = k ≠ 0 ，则称 X 与 Y 是同阶无穷小量 同阶无穷小量， 同阶无穷小量 Y 记为 X = O (Y ) ； X （3）若 lim =1 ，则称 X 与 Y 是等价无穷小量 等价无穷小量， 等价无穷小量 Y 记为 X ～ Y ； X （4）若 lim k = L ( L ≠ 0, k > 0) ，则称 x → 0 时， x 阶无穷小量。 X 是 x 的 k 阶无穷小量
x →+∞
x→+∞ x→+∞
但 lim [ f ( x) + g ( x)] = lim cos x 不存在。
无穷小量与无穷大量的关系: 无穷小量与无穷大量的关系:
1 性质 6 若 lim X = ∞ ，则 lim = 0 ； X 1 反之，若 lim X = 0 ( X ≠ 0) ，则 lim = ∞ 。 X
即有界变量与无穷小量的积是无穷小量。
定理 1
lim X = A ⇔ X = A + α ，其中 lim α = 0 ，A 为常数。
例．求下列极限 1 arctan x （1） lim x sin ； （2） lim 。 x x x →0 x →∞
错！ 错！
1 1 1 （1）错解： lim lim x == ，而 ⋅ sin sin 1 ，0 ； 错 正解： 正解 ∵ x sin 0 lim x lim ≤ = x x x→0x→0 x x→0 x→0 1 ∴ lim x sin = 0 。 x x→0
x→+∞ x→+∞
1 但 lim [ f ( x) + g ( x)] = lim = 0 是无穷小量。 x→+∞ x→+∞ 2 x
又如： 又如 f ( x) = 2 x + cos x ， g ( x) = −2 x ，
x→+∞
lim f ( x ) = +∞ ， lim g ( x ) = −∞ ，它们都是无穷大量，
1 π （2） 解： ∵ lim = 0 ，而 arctan x < ， 2 x→∞ x
arctan x ∴ lim =0。 x x→∞
2.无穷大量
定义 1 设 f (x) 在 N ( xo ) 内有定义，若 ∀G > 0 ， ∃δ > 0 ，
∋ 0 < x − xo < δ 时，恒有 f ( x) > G ，则称当 x → xo 时，
（2）若 X ～ Y ，且 lim(Y ⋅ Z ) 存在，
则 lim( X ⋅ Z ) = lim(Y ⋅ Z ) 。
X −Y Y 定理表明： 定理表明 证明： = lim[1− ] =1−1= 0 ， 证明 （1）∵ lim X X 两个等价无穷小量 X 与 Y 之差是比 X (或 Y ) 高阶的 ∴ X −Y = o( X ) （同理可证得 X −Y = o(Y ) ） 。 无穷小量；
x → xo
x → xo
lim f ( x) = +∞ ⇔ ∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − xo < δ, 恒有f ( x) > G.

x → xo
lim f ( x) = −∞ ⇔ ∀G > 0, ∃δ > 0, ∋ 0 < x − xo < δ, 恒有f ( x) < −G.
π 例如，当 x → 时， tan x 是无穷大 无穷大，记作 lim tan x = ∞ ； 无穷大 π 2 x→ ①说一个函数 f (x ) 是无穷大，必须指明自变量 x 2
sin x − tan x − tan x(1 − cos x) 正解： lim 2 正解 = lim x →0 x arctan x x →0 x2 ⋅ x
1 2 − x⋅( x ) 1 2 = lim =− 。 3 x →0 2 x
1+ x + x2 −1 （2） lim ； x →0 sin 2 x
1 2 x 1 1 2 = lim = . 2 x →0 + x ⋅ 1 ( x ) 2 2 2
例．当 x → 0 时， arcsin( 4 + x 2 − 2) 是 x 的几阶 无穷小？
解：∵当 x → 0 时，
x2 arcsin( 4 + x − 2) ～ 4 + x 2 − 2 = 2[ 1 + − 1] 4
x 例如：∵ lim = 0 ， 例如 x→0 x
3
∴当 x → 0 时， x = o( x) 。
1− cos x 1 ∵ lim = ， 2 x→0 x 2
3
∴当 x → 0 时，1− cos x = O( x 2 ) ，
且是 x 的 二阶无穷小量。
sin x = 1， ∵ lim x→0 x tan x = 1， ∵ lim x →0 x
②无穷大是指绝对值可以无限变大的变量，绝不 能与任何一个绝对值很大的常数如 101000 ，
− 10001000 等混为一谈。
两个无穷大量的和是否是无穷大量？ 问 ： 两个无穷大量的和是否是无穷大量 ？
答：不一定。
1 例如： 例如 f ( x) = 2 x + ， g ( x) = −2 x ， 2x lim f ( x) = +∞ ， lim g ( x) = −∞ ，它们都是无穷大量，
n
等价无穷小量
1 2 (x+ x ) n 2 1+ x + x −1 1+ x 1 n 解： lim = lim = lim = 。 x→0 x→0 sin 2 x 2x x→0 2n 2n
（3） lim
sin( x n )
x→0 (arcsin x) m
n n
0, n > m sin( x ) x 解： lim = lim m = 1, n = m . x →0 (arcsin x ) m x→0 x ∞, n < m
x
注意
① 无穷小量是以0为极限的变量； ② 无穷小量不一定是零，零作为函数来讲是
无穷小量； ③ 讲一个函数是无穷小量，必须指出自变量 的变化趋向； ④ 任何非零常数，不论其绝对值如何小，都 不是无穷小量。因为非零常数的极限是其本身， 并不是零。
穷小 的 量 性质: : 无 性质
性质 1：若 X , Y 都是无穷小量，则 X ±Y , X ⋅Y 也是无穷小量；
注意
当 x → +∞ 时， e x 是正无穷大 正无穷大，记作 lim e x = +∞ ； 正无穷大 1 x→+∞ 的变化趋势。如 是当 x → 0 时的无穷大，但当 x + 当 x →0 时， ln x 是负无穷大 负无穷大，记作 lim ln x = −∞ 。 负无穷大 1 x→0 + x → ∞ ， 就不是无穷大，而是无穷小了。 x