第十章
球函数
1
000)(',)(0)()()(')()(''c z w c z w z w z q z w z p z w 级数解法
一、二阶常微分方程的二阶常微分方程：
数。
定解条件，逐个确定系幂级数，并代入方程和的为中心，带有待定系数表示为以级数解法：将方程的解0z ,
sin cos 0'"x B x A y y y 的通解为例如：都可展为幂级数。
、处，在x x x sin cos 0 、方程的常点和奇点
1为方程的常点。
点解析，则在和）常点：如果（00)()(1z z z q z p 为方程的奇点。
的非解析点，则和是）奇点：如果（00)()(2z z q z p z 否则，为非正则奇点。
为正则奇点；的二阶极点，则的一阶极点，最多是若00)()(z z q z p z
00)
()(k k
k z z c z w 条件确定系数。
递推关系，再根据定解为零，找出系数之间的，令合并后各系数分别
代入方程，合并同幂项将
00)()(k k
k z z c z w 法
、常点邻域内的级数解2域内单值解析。
件的解存在，并在此区这个区域中满足定解条内单值解析，则方程在在、）定理：若（R z z z q z p ||)()(10）确定系数
（2
)
0()ln()()
()
()()
0()
()
()(00,10
02000
01212
1
b z z z Aw z z b z z z w a z z a z z z w n s s k k
k
s k k
k
s 数解
、正则奇点邻域中的级3两个线性无关解为：
002
010001)
()()()()
()()()(k k
k k k
k z z q z q z z z q z z p z p z z z p
0)
()(k s
k k z z c z w 设解的形式为：2
0)
(0)()()(')()(''z z z w z q z w z p z w 两边方程0
)()()()(')()()('')(2
02020 z w z q z z z w z p z z z w z z 0
)()()(')()()('')(1102
0 z w z q z w z p z z z w z z
)
()
()()()()
()1)((0
0000
000
k s
k k
k k
k k s k k k k
k k s
k k
z z c z z q z z c s k z z p z z c s k s k 零，可得判定方程：令最低次幂项的系数为0
)1(00 q sp s s 是较小的根。
其中是判定方程的两个根，、221s s s 。
；同理可得到从而求得可得到系数递推公式，，，令各项系数为代入方程，合并同幂项、、将)()(0)()()(211z w z w z w z q z p 0
)()()(')()()('')(1102
0 z w z q z w z p z z z w z z
0)
()(k s
k k z z c z w 设解的形式为：
02010001)()()()()
()()()(k k
k k k
k z z q z q z z z q z z p z p z z z p
)
1(02)1)((0
k s
k k k s
k k
z
c z
c s k s k ）式可得
代入（将11s
2
0]2)1)(2[(k k k
z
c k k 0)3( k c k k )
0(0 k c k 2
01)(z c z w 整数
321 s s )
0(ln )()(010
22
b z z Aw z
b z
z w k k
k s )
0(ln 02
1
-
b z Az z
b k k k
2
11
)(k k k k k
k
s z
c z
c z
z w
2
)3(k k k z
c k k
2")(2
2 w w z z w 代入方程将)
0(ln )(020
1
-2
b z Az z
b z w k k k 0
ln 22ln 23)2)(1(2
1
-2
2
1
-
z Az z
b z Az Az z
b k k k k k k k k
]2)2)(1[(30
1
-2
k k k z
b k k Az 项系数和为零2
z 003 A A 项系数和为零1
k z 0)3( k b k k )
3,0(0 k k b k 2
3-102)(z
b z b z w 0
)3(30
1
-2
k k k z
b k k Az
m
l im m l
l m l l
m l m
l m lm l e
P
r
b r a r R r u ,|
|)
1(,,,)(cos )()()(),,(
),(2
r u
l
l
l l l
l P r
b r a r u )
(cos ),()
1(方程的通解
六、Laplace )
(cos ~)(,1)(,0 l P m 轴对称问题，
,
0 m l 球对称问题
1
)( br
a r u。