中性轴的确定：
令 0,
拉
z
y
z sin y cos 0 Iy Iz

Iz y 则 tan tan z Iy
中性轴 压
F
（1）中性轴只与外力F 的倾角及截面的几何形状 与尺寸有关； （2）一般情况下，
I y Iz
拉
z y

即中性轴并不垂直于外力作用面。
作业：7-4;7-5;7-9;7-12;7-14
§ 7.1
1、组合变形的概念
概述
钻 床
杆件在外力作用下，同时发生 两种或两种以上基本变形的组合。
拉伸和弯曲的组合变形
M e Pa
q A B
P
拉伸、剪切和 弯曲的组合变形
工程实例
拉伸、弯曲、剪切和扭转的组合变形
2、求解组合变形问题的基本方法——叠加法 将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变
F1 4.55 kN, F2 415 N, F3 1.65 kN, F2 5.274 kN
F1 4.55 kN, F2 415 N, F3 1.65 kN, F2 5.274 kN
y
x
z
y z
Mz
C 141.9 C
x
443
A
158.5
B B
1217
D D
x
My
T
0.364kN· m C
T n 1kN m 扭矩： M
A
0.567KN· m
D
M z 0.364kN m 弯矩： M 1kN m y
总弯矩为：
T
2 MB Mz M2 y 1.06kN m
（三）按第四强度理论求轴所需直径
r4
1 W
M 2 0.75T 2
My

4 讨论
0
max 115.6 MPa
88.4％
吊车起吊重物只能在吊车大梁垂直方向起吊，不允许在大梁 的侧面斜方向起吊。
§ 7.3
拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
q
A
F
L
q A
B
F
B
弯曲
+
A
F
B
F
拉伸
1、求内力
q A x L B
Q FAy qx(剪力),
FAy
FBy
1 M FAy x qx 2 (弯矩 ), 2
T1=2 T2
A
B
φ300
Q
φ500
200
400
200
T2
Pn
20o
T1=2 T2
A
B
φ300
Q
φ
500
200
400
200
T2
Pn
20o
解：（1）传动轴的计算简图
z 0.15Pncos20o x Pncos20o Pnsin20o 3T2 Q y 0.25T2
z 0.15Pncos20o
y
0.25T2
FB
FAx
FBy
FAy
FBx
F
B左截面压应力最大
查表并考虑轴力的影响：
一受拉弯组合变形的圆截面钢轴，若用第三强度理论 设计的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则 ＝ d4。 d3 _____ （填“＞”、“＜”或“＝”） 因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力， 而无切应力，
§ 7.4 弯曲与扭转组合变形

Pl(
z3 sin

y3 cos
) )
M max (
z3 sin
y3 cos
斜弯曲梁的位移——叠加法 中性轴 z y
F sin l 3 Fz l 3 , fz 3EI y 3EI y
F cosl 3 fy 3EI z 3EI z
Fy l 3
f z
（2）截面内力判断法 根据截面上的内力，判断组合变形的类型。
Qy
F1
My
N
T
F2
Qz
Mz
*在横力弯曲时，剪力在实心截面杆上产生的剪应力较小， 可忽略。
§ 7.2
斜弯曲
斜弯曲
当外力作用面不通过主惯性平面时,则弯曲变形后,梁
的轴线不在外力作用面内.
z
F y
Fz
z xz平面内的平面弯曲
Fz
z y
F y
对于拉、弯、扭同时存在作用在圆形截面时:
N M 2 T 2 r3 ( ) ( ) A W W
N M 2 T 2 r 4 ( ) 0.75( ) A W W
危险点的应力状态
扭 转 、 双 向 弯 曲
r 3 2 4 2
r 4 2 3 2
例7-1：一般生产车间所用的吊车大梁,两端由钢轨支撑,可以 简化为简支梁,如图示.图中l＝4m。大梁由32a热轧普通工字钢制 成，许用应力［σ］＝160MPa。起吊的重物重量F＝80kN，且 作用在梁的中点，作用线与y轴之间的夹角α＝5°，试校核吊车 大梁的强度是否安全。 Fy F cos F
(1)
2 2 (MZ MY ) T2 Wz
2 2 (MZ MY ) 0.75T 2 Wz
承受弯曲与扭转的圆轴，分析步骤：
1.绘制计算简图；
2.绘制内力图，判断可能危险面；
3.判断危险点及其应力状态（忽略剪力）； 4.选择强度理论进行校核。
例7-3 图示钢制实心圆轴，其齿轮C上作用铅直切向力5kN，
z
3( y3 , z3 )


z sin y cos c ( y, z ) Pl( ) Iy Iz

中性轴
max
Pl(
z1 sin Iy Iy Iy Iy

y1 cos Iz Iz Iz Iz
) )
F
压
M max (
max
z1 sin
y1 cos
Fy
z xy平面内的平面弯曲 y
Fy
已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l，外载荷F， 与主惯轴y成夹角。
求：根部截面上的最大正应力
y y
Fz
z
x
z


F F
Fy
Fz F sin , Fy F cos
y
y
z
z
Mz
My
x (M y )
x (M z )
中性轴
中性轴
y
y
第七章 组合变形
教学目的与要求 了解组合变形的概念。 掌握斜弯曲、拉（压）弯、弯扭组合变形等组合变形形 式的概念和判定、危险截面和危险点的确定、应力计算、 中性轴的确定、强度计算等。 教学重点： 斜弯曲、拉（压）弯、弯扭等组合变形 形式的应力和强度计算。 教学难点： 组合变形形式的判定，危险截面和危险点的确定，中性轴的 确定，应力和强度计算等。
C(y,z) z
C(y,z)
z
Mz
My
C1
所以
Myz Iy
C2
Mzy Iz
C ( y , z ) C1 C 2
Myz Iy
Mz y Iz
Fx sin z Fx cos y z sin y cos Fx( ) Iy Iz Iy Iz
形下的内力和应力，然后进行应力叠加。
关键：
分解 叠加
叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系，则复杂受力 情况下组合变形构件的内力、应力、变形等可以由几组产生基 本变形的载荷单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而得到，
且与各组载荷的加载次序无关。������
叠加原理成立的条件 (1) 应力应变关系为线性关系，即满足胡克定律；
径向力1.82kN；齿轮D上作用有水平切向力10kN，径向力 3.64kN。齿轮C的直径dC=400mm，齿轮D的直径dD=200mm。
圆轴容许应力 100MPa。试按第四强度理论求轴的直。
解（一）外力分析
例3图
将各力向圆轴的 截面形心简化，
画出受力简图。
受力简图
（二）内力分析 画出内力图如图 从内力图分析，B截面为危 险截面。B截面上的内力为：LΒιβλιοθήκη L2Fz F sin
1 首先将斜弯曲分解为两个平面弯曲的叠加 2 确定两个平面弯曲的最大弯矩
Mz
Fy L 4
Fz L My 4
查表：
Wy 692.2cm3
Wz 70.758cm3
3 计算最大正应力并校核强度
max
Mz 217.8MPa Wy Wz
A
F
l
B
M
S
C
a
S平面
y
1 4
z
2 3
x
y
1
F
1
x
Mz Wz
F
1 4 Mz
x
T Wt
1
3
T Wt
Mz Wz
z
2
3
3
x
3
4
T 4 Wt
危险点为1、3点。确定主应力


1 1 2 4 2 2 2

1 3 2 4 2 2 2

A
B
x L
F
F
N F (轴力),
2、求应力
N
N (均布), A
M
My (线性分布), Iz N My A Iz
N M
3、建立强度条件
max
min
M max N [ ] A Wz