(b)简支梁
4.作用在梁上的荷载可分为:
(a)集中荷载
F1
集中力
q(x)
(b)分布荷载
任意分布荷载
(c)外伸梁
M
集中力偶
q
均布荷载
工厂厂房的天车大梁：
F F
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
§4-3 剪力和弯矩
一、截面法过程：切取、替代、平衡
a
F
Fy 0 : FA FS 0
第一章 绪论 第二章 拉伸、压缩与剪切 第三章 扭转 第四章 弯曲内力 第五章 弯曲应力 第六章 弯曲变形 第七章 应力和应变分析、强度
理论 第八章 组合变形 第九章 压杆失稳
第四章 弯曲内力
§4-1，2 弯曲的概念及梁的计算简图 §4-3 剪力和弯矩 §4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4-6 平面曲杆的弯曲内力
弯矩方程, 并作该梁的剪力图和弯矩图。
q
解： 1、求支反力
A
x
l
FA
ql / 2
B
由对称性知：
FB
FA
FB
ql 2
2、建立剪力方程和弯矩方程
FS
M
+
l/2
ql / 2
ql 2 8
FS (x)
FA
qx
ql 2
qx
M (x)
FA x
qx2 2
qLx 2
qx2 2
FS ,max
ql 2
M max
ql 2 8
FA FA
M 0
l
x Mx 0
l
x
x
a a
Ma l
+
CB段
:
FS
M
( (
x) x)
FB
FB l
M l
x
a x l
M l x a x l
l
由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯
Mb
l
矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。
例: 图示简支梁受均布荷载q的作用，试列剪力方程和
M
M M
M
弯矩为正
弯矩为负
例: 求下图所示简支梁11与22截面的剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
A
1
2m
1
2
B
2 1.5m
FA 1.5m
1.5m
3m
FB
解： 1、求支
MB
0
FA
6
F
4.5
q
3
3 2
0
FA
15kN
反力
Fy 0 FA FB F q 3 0 FB 29kN
通过剪力、弯矩和分布载荷之间的微分关系，可 推知剪力图和弯矩图的形状:
1. 以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支 座截面处为界点将梁分段.
2．若梁上无分布载荷，则该段梁的剪力图为平行于轴的直线；而 弯矩弯矩图为斜直线。
3．若梁上有均布载荷，则剪力图为斜直线；而弯矩图为抛物线。 本书规定当 （ 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当 （向下） 时，弯矩图为向上凸的曲线。
l
由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪 力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突 变方向沿集中力作用的方向。
例: 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用,试
列剪力方程和弯矩方程, 并作剪力图和弯矩图.
F
解 (1) 将坐标原点取在梁的 A
B
左端，列出梁的剪力方程 和
A
B
FS FA
x
CM
FA
x
FS
MC 0 : M FA x 0
M FA x
二、平面弯曲梁横截面上的内力：
①剪力—平行于横截面的内力，符号：FS ，正负号规定： 使梁顺时针转动剪为正，反之为负.
FS
FS
FS
FS
剪力为正
剪力为负
②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使 梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩 为正)。
§4-1 弯曲的概念和实例
弯曲的概念
弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线
在变形后成为曲线的变形形式。
受力特点——作用于杆件上的外力或外力偶都垂直于杆的轴线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
F1
q
F2
M
纵向对称面
对称弯曲—— 构件几何特征
受力特征 变形特征
构件为具有纵对称面的等截面直杆 横向外力或外力偶均作用在杆的纵向对称面内 杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线
工程实例:
跳板
摇臂钻的臂
立交桥梁
车刀
§4-2 梁的计算简图
研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称
面内的平面力系。
1.梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支
座加到轴线上。
2.梁的支座简化(平面力系)：
a)滑动铰支座
b)固定铰支座
c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
3.静定梁 (a)悬臂梁
RA
F
1
2
寸如图所示.试用本节所述关系作此 A
C
梁的剪力图和弯矩图.
F
FA
A
C
FB
B
解： 1、求支反力
FA
Fb； l
FB
Fa l
a
b
2、建立剪力方程和弯矩方程
l
Fb l
+
AC段
:FSLeabharlann M (x) (x)
FA FA
Fb 0
l x Fbx
l
0
x a x a
Fa l
Fba
+
l
CB段
:
FS
M
(x) (x)
FB
FA l
Fa l
x
a x l
Fa l x a x l
x
弯矩方程
l
FS
FS( x) F (0 x l)
x
M ( x) Fx (0 x l)
F
M
例: 在图示简支梁AB的C点处作用一集中
力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。
FA
M
A
C
a
b
FB
B
解： 1、求支反力
FA
M； l
FB
M l
2、建立剪力方程和弯矩方程
l
M l
+
AC段
:
FS M
(x) (x)
2、计算1-1 截面的内力 FA 3、计算2-2 M2 截面的内力
F=8kN
FS1
q=12kN/m
FS2
M1 FS1 FA F 7kN M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
FS2 q 1.5 FB 11kN
M2
FB
FB
1.5
q
1.5 1.5 2
30kN
m
§4-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图
4．在集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力），弯矩 图有折角。在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变 （突变值等于集中力偶矩）
5．梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最 大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Fs = 0 的截面处.
例一简支梁受两个力F作用，如 图所示。已知 F= 25.3kN， 有关尺
1.剪力、弯矩方程：
MFS
FS ( x) M (x)
2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴
沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。
剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧
例: 在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，试列剪
力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。