第六章 组合变形一、内容提要组合变形形式是指除拉伸、压缩、平面弯曲、自由扭转等基本变形形式以外的其它变形形式。

在工程实际中，杆件的受力变形情况种类繁多，但根据叠加原理及圣维南原理，它们均可以简化为几种基本变形形式的组合。

（一）杆件在组合变形下的应力计算方法1、在小变形和线弹性条件下，杆件上各种力的作用彼此独立，互不影响，即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的作用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆的作用效果（或影响很小可以忽略）。

因此组合变形下杆件内的应力，可视为几种基本变形下杆件内应力的叠加。

本章中组合变形下杆件的应力计算，将以各基本变形的应力及叠加法为基础。

2、叠加法的主要步骤（1）、将组合变形按照各基本变形的条件，分解为几种基本变形，简称分解。

（2）、利用基本变形的应力计算公式，分别计算各点处的正应力和切应力。

（3）将分别计算得到的同一截面同一点上的正应力取代数和，得到组合变形下该点处的正应力σ；将分别计算得到的同一截面同一点上的切应力取几何和，得到组合变形下该点处的切应力τ，简称叠加。

因此计算步骤概括为：分解——分别计算——叠加其关键是分解。

（二）将组合变形分解为几种基本变形的两种途径1、载荷分解法（1）、将任意方向的外力F ，在作用点分解为平行于轴线的纵向力F ’z 和平行于形心主轴的横向力F ’y 、F ’z ，如图6-1a 所示。

( )( )( )( )(拉伸)( 平面内弯曲)图（2）、将纵向力F ’x 向该截面形心简化，得一与轴线重合的纵向力F x （引起拉伸或压缩，F ’x =F x ），和一个集中力偶m ，再将集中力偶m 沿两个形心主轴方向分解，得两个力偶分量m y 、m z （分别在xz 平面和xy 平面内引起平面弯曲）结果如图6-1b 所示。

（3）、将两个横向力F’y、F’z分别向弯曲中心C简化，得两个过弯曲中心，并分别平行于形心主轴得横向力F y、F z，且F y=F’y，F z=F’z（分别在xy平面和xz平面内引起平面弯曲），及两个与轴线平行的力偶m x1、m x2，取代数和得m x（引起扭转，且在这里只考虑自由扭转）结果如图6-1c所示。

（4）、分别将引起拉伸（压缩）、xy平面内的平面弯曲、xz平面内的平面弯曲及扭转的载荷分量归并在一起，得到杆件各基本变形下的受力图，如图6-1d所示。

（5）、分别画出杆件在各基本变形下的内力图，综合比较各截面的内力分量，得到可能的危险截面上的内力分量，一般情况下有六个，即F N、F Sy、F Sz、M y、M z和T。

2、内力分解法（1）、在欲求内力的截面上建立形心主轴坐标系Oxyz（O为截面形心，Ox为截面外法线，Oy、Oz为截面形心主轴）。

（2）、应用截面法，将截面一侧的外力向该截面形心简化，得一个主向量R e和一个主矩M e，从平衡关系直接求得该截面上的总内力：一个主向量R和一个主矩M，且R=R e，M=M e，如图6-2所示。

( )( )图（3）、将主矩M沿Oxyz三个坐标轴方向分解，得三个力偶分量T1（扭矩）、M y和M z （弯矩）。

（4）、将主向量R沿三个坐标轴分解，得一个轴力F N和两个剪力F Sy和F Sz。

当截面弯曲中心与形心不重合时，还须将F Sy和F Sz向弯曲中心简化，得两个剪力F Sy和F Sz及两个扭矩T2和T3。

（5）、将所有扭矩T1、T2、T3取代数和，得到该截面上的总扭矩T。

最后在该截面上得到与基本变形要求一致的内力分量，一般有六个，即F N、F Sy、F Sz、M y、M z和T。

以上两种分解方法，可根据具体情况灵活应用，一般直杆多用载荷分解法，曲杆多用内力分解法。

（三）组合变形下杆件的强度计算1、对杆件内各截面上的所用内力分量进行综合比较，确定可能的危险截面。

2、根据各种内力分量所对应的应力分布规律，判断可能的危险点。

分别利用基本变形的内力计算公式，计算该点处的应力，叠加（正应力取代数和，切应力取几何和）后得危险点处的正应力σ和切应力τ。

3、根据危险点的应力状态，选用合适的强度理论，进行强度计算。

应该特别注意的是组合变形下杆件的可能危险截面和危险点一般都不止一个，切勿遗漏。

二、基本要求本章的基本理论为：理论力学中力系的简化，平衡问题的求解；截面图形的几何性质，如形心、形心主惯性轴；基本变形内力、应力的分析与计算；叠加原理；应力状态分析与强度理论的应用等。

要求在掌握上述基本理论的基础上，解决斜弯曲、拉弯组合、偏心压缩（拉伸）及弯扭组合变形的应力计算问题。

（一）斜弯曲斜弯曲是两个相互正交的形心主惯性轴平面内平面弯曲的组合变形。

当杆件在两个相互正交的形心主惯性平面内分别有横向力作用时（如图6-3a 所示）或杆件所受的横向力不与杆件的形心主惯性平面重合或平行时（如图6-3b 所示）杆件发生斜弯曲。

杆件变形后的轴线与外力不在同一纵向平面内。

( )( )图1、斜弯曲杆的应力将斜弯曲分解为在两个形心主惯性平面内的平面弯曲，然后分别计算其应力，再进行叠加。

则任意截面上任意点（y 、z ）处的正应力为zz y y I y M I zM +=σ (6-1) 式中M y 、M z 分别为主惯性平面y 、z 内的弯矩，y 、z 分别为计算应力点的坐标，I y 、I z 分别为截面的两个形心主惯性矩。

一般情况下，任意截面上还有剪力F Sy 和F Sz ，因而该点处还有切应力。

通常在斜弯曲问题中，剪力引起的切应力可忽略不计。

2、中性轴位置 由中性轴上各点的正应力均为零，可知任一截面上中性轴方程为0=+zz y y I y M I zM (6-2)由上式可见，中性轴为一过截面形心的直线，其方位角为（见图6-4a 所示）：ϕαtg I I M I M I z y tg yz z y y z =⋅⋅=-= (6-3) 通常，I y ≠I z ，所以α≠ϕ，可见中性轴不与合成弯矩矢量的方位重合或平行。

图力作用方向( )( )( )如果截面I y =I z （如圆形截面、正方形截面），则α=ϕ，中性轴将与合成弯矩矢量的方位重合，但这已不是斜弯曲而仅是垂直于中性轴平面内的平面弯曲。

3、截面上的应力分布和最大正应力斜弯曲杆件截面上的正应力分布如图6-4b 所示。

最大正应力将发生在距中性轴最远点处。

若截面有棱角，则最大应力点必在棱角处，如截面为矩形，则最大应力点必为棱角b 、d 点（见图6-4b ）。

若截面无棱角，则最大应力发生于截面周边上平行于中性轴的切点处（见图6-4c ）。

4、强度条件斜弯曲杆件的危险点在危险截面上发生最大应力点处。

危险点的应力状态为单向应力状态或近似当作单向应力状态，故其强度条件为][max σσ≤+=z z y y I y M I z M (6-4a ) 或 ][max σσ≤+=zz y yW M W M (6-4b ) 式中M y 、M z 为危险截面的两个弯矩；二者不一定同时是M ymax 和M zmax ；y 、z 为危险点的坐标。

若材料的许用拉、压应力不同，即[σt ]≠[σc ]，则拉压强度均应满足。

5、挠度计算先分别求出两平面弯曲的挠度弯w y 和w z ，然后按几何和叠加，故合成挠度为22z y w w w += (6-5)合成挠度的方位垂直于中性轴，所以并不在外力作用平面内。

（二）拉（压）弯组合当杆件受到轴向力F x 及横向力F y （或F z ，或F y 、F z 兼有）作用，如图6-5a 所示，则杆件处于拉（压）弯组合变形。

但有些受力杆件是在外力向截面形心分解后，才具有上述特点，如图6-5b 、c 所示。

( )( )( )图1、拉（压）弯组合的应力拉（压）弯组合杆件的横截面上的内力有轴力F N 、弯矩M y 、M z 或者其中之一。

（横截面上的剪力F Sy 、F Sz 忽略不计）所以，横截面上任一点（y 、z ）处的正应力为zz y y N I y M I z M A F ±±=σ (6-6) 式中A 为横截面面积，I y 、I z 为截面对形心主轴y 、z 的惯性矩。

2、中性轴位置 由中性轴上各点的正应力均为零可得中性轴方程为0=±±zz y y N I y M I z M A F (6-7) 从而可见，中性轴是一条不过截面形心的直线，它可能位于截面之内，也可能位于截面之外，或与截面周边相切。

这取决于叠加后的正应力在截面上的分布情况。

图6-6（假定截面上只有F N 和M y ）显示了叠加后正应力分布的三种可能性。

图3、强度条件危险截面可由内力图综合确定，危险点由应力分布规律确定，显然，危险点（最大应力点）应在距截面中性轴最远点处。

危险点为（或可作为）单向应力状态，其强度条件为][max σσ≤±±=zz y y N I y M I z M A F (6-8a ) 或 ][max σσ≤±±=zz y y N W M W M A F (6-8b ) 式中F N 、M y 、M z 分别为危险截面的内力；y 、z 为危险点的坐标。

若材料的许用拉、压力不同，即[σt ]≠[σc ]，则拉、压强度均应满足。

（三）偏心压缩（拉伸）杆件受偏心压力（或拉力），将同时产生压缩（拉伸）和弯曲变形，图6-5b 就是偏心压缩杆件。

实质上，这是压（拉）弯组合变形的一种，由于土木工程中经常见到，故单独提出。

1、偏心压缩（拉伸）的应力在图6-5b 所示偏心压缩情况下，杆件各横截面上只有大小相同的轴力F N 、大小相同的弯矩M y 、M z ，不存在剪力，任一截面上任一点（y 、z ）处的应力为zz y y N I y M I z M A F ±±-=σ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅±⋅±-=221z F y Fi y y i z z A F (6-9) 式中y F 、z F 分别为偏心压力F 作用点的坐标，i y 、i z 为截面对y 、z 轴的惯性半径。

2、中性轴位置由中性轴上各点的正应力均为零可得中性轴方程为：0122=⋅±⋅±zF y F i y y i z z (6-10) 可见，中性轴是一条不过截面形心的直线，它可能位于截面之内，也可能位于截面之外，或与截面周边相切。

这取决于叠加后截面上正应力的分布情况。

由上式可求得中性轴在y 、z 轴上的截距分别为F y z F z y z i a y i a 22-=-= (6-11)式中负号表明，截距a y 、a z 总是与y F 、z F 异号，可见中性轴与偏心压力作用点总是处于形心的两侧。

3、强度条件偏心压缩（拉伸）杆任异横截面均为危险截面。

危险点位于距中性轴最远点处。