高斯定理
Φe

S
1 E dS
0
q
i 1
n
i
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 . （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
高斯定理 Φe

1 E dS
S
0

n
qi
i 1
总 结
1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度.

S
E dS
EdS
s ( 柱面）

h 0 z
+ +
2 π rhE
h 0
E
y en
E

2 π 0r
h
x
r +o
+
+
例:闪电的可见部分之前有一个不可
见的阶段，在该阶段一根电子柱从 浮云向下延伸到地面。这些电子来 自浮云和该柱内被电离的空气分子。 沿该柱的线电荷密度一般为-1×103 C/m。一旦电子到达地面，在倾泻 期间，运动电子与柱内空气的碰撞 导致明亮的闪光。倘若空气分子在 超过3×106N/C的电场中被击穿，则 电子柱的半径有多大？
q 4 π 0 R
2
E
0
R
r
练习
两个半径分别为R1和R2(R2> R1)的同心均匀带电 球面，内球面带电量为Q1，外球面带电量为Q2, 求空间各点的场强（球面上的场强不用考虑）
例 无限长均匀带电直线的电场强度 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
2）高斯面为封闭曲面.
3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.
4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 5）静电场是有源场.
例
有一边长为
a

的正方形平面，其中垂线上距
正方形中心 o 点为 a 2 处有一电量为 q 的正点电荷,则 通过该正方形平面的电通量为：（ ）
4 πq
o
a 2
q
(1) (3)
(1)
q
2 2
q
(2)
2
4 π 0d q
2
0S
2q
2
(3)
2 0 S
(4)
0S
作业：6-11, 6-13
解 对称性分析： 垂直平面 E
例 无限大均匀带电平面的电场强度 无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.
r
E dS
S
选取闭合的柱形高斯面 S＇

0
E
底面积
E 2 S＇
S＇ 0
S＇
S＇
S＇
E
E 2 0
r
s2
Q
S + + 1+
+ + +
O
r
R
+ + +
+ + +

S1
（2） r Q S E d S 0 Q 2 4π r E 0
2
R
E Q 4 π 0r
2
E
2
r r
4π 0R
o
R
r
例 求半径为R，电量为q的均匀带电球 体内外的电场分布。 解 1） 0 r R
3 4 4 qr 3 3 E dS q πr / 0 πR 3 3 3 0R

S
4 πr E
2
qr
3 3
0R
E
qr 4 π 0 R
3
r r
+ + + + + + + + + + + + + + R + + + + +
r
r

S
2） r R q 2 E dS 4 πr E 0 q r E 2 4 π 0r r
6 0 q 3π 0
(2) (4)
q 6 0 q 6 π 0
a
q
S
q E ds
0
例 点电荷q放在球形高斯面的中心，当球形高斯面的 半径缩小一半时，与原球形高斯面相比，它的( D ) (A)高斯面上的场强不变，穿过高斯面的电通量不变； (B)高斯面上的场强不变，穿过高斯面的电通量改变； (C)高斯面上的场强改变，穿过高斯面的电通量改变； (D)高斯面上的场强改变，穿过高斯面的电通量不变。
r
E dS
s ( 柱面）
解 对称性分析：轴对称 选取闭合的柱形高斯面 E dS
S
z
+
en
+
E
E dS E dS
E dS
h
x
s ( 上底）
s ( 下底）
r +o
+
+

s ( 柱面）
y en en
四
高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
其步骤为
对称性分析；
根据对称性选择合适的高斯面；
应用高斯定理计算.
例
均匀带电球面的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 Q 的球 面 . 求球面内外任意点的电场强 度.
解（1） 0 r R E dS 0 E 0
r

2 0 E
6m
关键点：1） 近似为无限长直导线；2）所求电子柱的半径内的 空气分子被电离而更远处的分子不被电离。
闪电轰击一颗 高20米的梧桐 （因为树是湿 的，大多数电 荷由数上的水 传过，所以树 未受损害）。
一次闪电的发光半径一般只有6米，但也不要 设想倘若在离轰击点距离较大的某处是安全的， 因为轰击所倾斜的电子沿地面行进。这种地面电 流是致命的。 来自一 次闪电的地 面电流烧毁 了高尔夫球 场草地，露 出土壤。
E

2 0
E
x
O
( 0 )


E
E
E
E
讨论
无 限 大 带 电 平 面 的 电 场 叠 加 问 题

0

0
0


0
0
0
例 在真空中， 、 两板相距 d ，面积都为 S （平 A B 板的尺寸远大于两板间距）， 、 两板各带 q 、 q . A B 则两板间的相互作用力为：（ ）