水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功
后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付
元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值
为
.
答案 ①130 ②15
解析 本题通过生活中常见的网络购物,考查函数的实际应用,利用促销返利考查学生应用数
?
??b ? 0,
即
? ?
? ?
|b|
?
解之得b>2?
2,
10
.
32 ? (? 1)2
所以实数b的取值范围为(2? 10 ,+∞).
B组 课标卷、其他自主命题省(区、市)卷题组
考点一 函数的模型及实际应用
1.(2019课标全国Ⅱ理,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背 面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围 绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月 球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方 程:
? M1 +?M2 =(R+r)?M1 .
(R ? r)2 r 2
R3
设α=?r .由于α的值很小,因此在近似计算中?3α3 ? 3α4 ? α5 ≈3α3,则r的近似值为? ( )
R
(1? α)2
? A. M 2 R M1
? B. M 2 R 2M1
? C. 3 3M 2 R M1
? D. 3 M 2 R 3M 1
8
? ? 为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤
? ??
m 8
? ? ?min
+?M 2
α2
=(1+α)M1,
? ? ? ? ? ∴ α2 (α3 ? 3α2 ? 3α) = M 2 ,即 M 2 = α5 ? 3α4 ? 3α3 ,∴ M 2 ≈3α3,
(1? α)2
M1
M1
(1? α)2
M1
? ? ∴α≈ 3 M 2 ,∴r=R·α≈3 M 2 R.故选D.
3M 1
3M 1
解后反思 题中内容丰富、字母较多,需要冷静、沉思,抓住题的实质,进而转化成数学运算问 题.平时一定要注重培养良好的解题习惯.
2.(2019北京文,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白
梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种
,∵函数y=???
e 3
x
? ??
在(-∞,+∞)上单调递减,∴②
不符合题意.
对于③, f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·x3,令y=ex·x3,则y'=(ex·x3)'=ex·x2(x+3),当x∈(-∞,-3)时,y'<
0,函数y=ex·f(x)单调递减,故③不符合题意.
对于④, f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex(x2+2),令y=ex(x2+2),则y'=[ex(x2+2)]'=ex(x2+2x+2)>0,∴
高考数学 (山东专用)
§2.8 函数模型及综合应用
五年高考
A组 山东省卷、课标Ⅰ卷题组
1.(2017山东,15,5分)若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,
则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为
.
①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x3 ④f(x)=x2+2
答案 ①④
解析 增,
? ? 对于①,
f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·2-x=??
?
e 2
x
? ? ?
,∵函数y=???
e 2
x
? ? ?
在(-∞,+∞)上单调递
∴①符合题意.
? ? 对于②,
f(x)的定义域为(-∞,+∞),ex·f(x)=ex·3-x=??
?
e 3

x
? ??
.
答案 (2? 10 ,+∞)
解析 函数g(x)=? 4 ? x2 的图象是以坐标原点为圆心,2为半径的圆在x轴及其上方的部分.由题 意可知,对任意x0∈I,都有h(x0)+g(x0)=2f(x0),即(x0, f(x0))是点(x0,h(x0))和点(x0,g(x0))连线的中点,又 h(x)>g(x)恒成立,所以直线f(x)=3x+b与半圆g(x)=? 4 ? x2 相离且b>0.
函数y=ex(x2+2)在(-∞,+∞)上单调递增,∴④符合题意.
∴符合题意的为①④.
思路分析 审清题意,逐项代入检验即可.
方法总结 判断函数单调性的一般方法: (1)定义法. (2)图象法. (3)利用复合函数单调性的判断方法判断单调性. (4)导数法.具体步骤:①确定函数的定义域;②当f '(x)>0时, f(x)为增函数,当f '(x)<0时, f(x)为减函 数,注意写单调区间时不能用“∪”连接.
学知识解决实际问题的能力.让学生通过分析,把实际问题模型化,构建不等式,体现了社会生
活与学习的密切联系.
①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)80%≥m×70%,
所以x≤?m ,而m≥120,
答案 D 本题考查数学应用意识、运算求解能力以及方程思想;通过物理背景旨在考查数
学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养.体现了试题的创新意识,激发了学生的爱国情怀以
及正确的国家观.
将r=α·R代入方程可得? M1 +?M 2 =(1+α)?M1 ,
(R ? αR)2 α 2R2
R2
? 即
M1 (1? α)2
2.(2014山东,15,5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函 数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x, f(x))对称.若 h(x)是g(x)=?4 ? x2 关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是