推论1 若 f (x)在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必
为某常数.
事实上，对于(a,b)内的任意两点 x1, x2 ，由拉格朗
日中值定理可得
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) 0,
位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0 能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
ba
由于f(x)在[a,b]上连续，因此 (x) 在[a,b]上连续.
由于f(x)在(a,b)内可导，因此 (x) 在(a,b)内可导. 又由于 (a) 0 (b), 因此(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，所以至少 存在一点 (a,b)，使 ( ) 0 ，即
1,3]上满足
由拉格朗日定理可知，必定存在 (1,3),使
f ( ) f (b) f (a) .
ba
由于f(b)=f(3)=16, f(a)=f(－1)=4,而f ( ) 4 1 .
4 1 16 4 3.
3 (1)
可解得 1 ，因此本例应选D.
例2
当x>0时,试证不等式
1
x
可知f(x)在(a,b)内恒为某常数.
推论2 若在(a,b)内恒有 f (x) g(x) ，则有
f(x)=g(x)+C, 其中C为某常数.
事实上，由已知条件及导数运算性质可得
[ f (x) g(x)] f (x) g(x) 0.
由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.
1 t
1
ln(1 x) ln1 1 [(1 x) 1] x ,
1
1
由于0 x，因此
进而知 即
1 1 1,
1 x 1
x x x,
1 x 1
x ln(1 x) x . 1 x
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
x
ln(1
x)
x
.
分析 ln(1 x) ln(1 x) ln1
取f(t)=ln(1+t) ，a=0，b=x.
则f(t)=ln(1+t) 在区间[0,x]上满足拉格朗日中值
定理，因此必有一点 (0, x) 使得.
f (x) f (0) f '( )x.
f (t) ln(1 t)，f '(t) 1 ，f '( ) 1 ,
二、拉格朗日中值定理的应用
例1 函数 f (x) 2x2 x 1在区间[－1,3]上满足拉格
朗日中值定理的 =( ).
A. 3; B. 0; C. 3; D. 1 . 4
分析 由于 f (x) 2x2 x 1在[－1,3]上连续，在(－1,3)
内可导，因此f(x拉格朗日中值定理条件.(b) f (a) 0,
ba
从而有f ( ) f (b) f (a)
ba
几何解释:
y
在曲线弧 AB 上至少有
C
y f (x)
M
B
一点 C , 在该点处的切
线平行于弦 AB.
A
N
D
o a 1 x
2 b
x
如果f(x)在(a,b)内可导，x0 (a,b), x0 x (a,b), 则 在以 x0与x0 x为端点的区间上f(x)也满足拉格朗日
拉格朗日中值定理及其应用
一、拉格朗日中值定理
定理1. 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
中值定理，即
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x, 其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论：