5. 用符号形式写出下列命题。
⑴假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
⑵我今天进城，除非下雨。
⑶仅当你走，我将留下。
解：⑴p：上午下雨；q：我去看电影；r：我在家读书；s：我在家看报；原命题符号化为：（⌝p→q）∧（p→r∨s）。
⑵p：我今天进城；q：天下雨；原命题符号化为：⌝q→p。
⑶p：你走；q：我留下；原命题符号化为：q→p。
3.构造下列命题公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
⑸((¬p→(p∧¬q))→r)∨(q∧¬r)解：⑸((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)的真值表如表1.28所示。
表1.28使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成真的赋值是：000，001，010，011，101，110，111，使得公式((⌝p→(p∧⌝q))→r)∨(q∧⌝r)成假的赋值是：100。
4.用真值表证明下列等价式：⑸p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)证明：证明p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表如表1.33所示。
表1.33由上表可见：p→(q→p)和⌝p→(p→⌝q)的真值表完全相同，且都是永真式，所以p→(q →p)⇔⌝p→(p→⌝q)。
⑹⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)证明：证明⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表如表1.34所示。
表1.34由上表可见：⌝(p↔q)和(p∨q)∧⌝(p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p ∧q)⑺⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)证明：证明⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表如表1.35所示。
表1.35由上表可见：⌝(p↔q)和(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)的真值表完全相同，所以⌝(p↔q)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q)。
⑻p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r证明：证明p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表如表1.36所示。
表1.36由上表可见：p→(q∨r)和(p∧⌝q)→r的真值表完全相同，所以p→(q∨r)⇔(p∧⌝q)→r。
5. 用等价演算证明习题4中的等价式。
⑸p→(q→p)⇔⌝p∨(⌝q∨p) (条件等价式)⇔T⌝p→(p→⌝q)⇔p∨(⌝p∨⌝q) (条件等价式)⇔T所以p→(q→p)⇔ ⌝p→(p→⌝q)⑹⌝(p↔q)⇔⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q)) (例1.17)⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q) (德·摩根律)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q) (德·摩根律)所以⌝(p↔q)⇔(p∨q)∧⌝(p∧q)⑺⌝(p↔q)⇔⌝((p→q)∧(q→p)) (双条件等价式)⇔⌝((⌝p∨q)∧(⌝q∨p)) (条件等价式)⇔(p∧⌝q)∨(⌝p∧q) (德·摩根律)⑻p→(q∨r)⇔⌝p∨(q∨r) (条件等价式)⇔(⌝p∨q)∨r (结合律)⇔⌝(p∧⌝q)∨r (德·摩根律)⇔(p∧⌝q)→r (条件等价式)1.求下列命题公式的析取范式。
⑴(p∧⌝q)→r⇔⌝(p∧⌝q)∨r⇔⌝p∨q∨r⑵⌝(p→q)→r⇔⌝⌝(⌝p∨q)∨r⇔(⌝p∨q)∨r⇔⌝p∨q∨r⑶p∧(p→q)⇔ p∧(⌝p∨q)⇔(p∧⌝p)∨(p∧q)⇔ p∧q⑷(p→q)∧(q∨r)⇔(⌝p∨q)∧(q∨r)⇔ q∨(⌝p∧r)⑸⌝(p∨⌝q)∧(r→t)⇔(⌝p∧q)∧(⌝r∨t)⇔(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧t)2. 求下列命题公式的合取范式。
⑴⌝(p→q)⇔⌝(⌝p∨q)⇔p∧⌝q⑵⌝q∨(p∧q∧r)⇔(⌝q∨p)∧(⌝q∨q)∧(⌝q∨r)⇔(⌝q∨p)∧(⌝q∨r)⑶(⌝p∧q)∨(p∧⌝q)⇔((⌝p∧q)∨p)∧((⌝p∧q)∨⌝q))⇔(⌝p∨p)∧(q∨p)∧(⌝p∨⌝q)∧(q∨⌝q)⇔(p∨q)∧(⌝p∨⌝q)⑷⌝(p↔q)⇔⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))⇔(⌝p∨⌝q)∧(p∨q)⑸⌝(p→q)→r⇔⌝⌝(⌝p∨q)∨r⇔(⌝p∨q)∨r⇔⌝p∨q∨r3.求下列命题公式的主析取范式，并求命题公式的成真赋值。
⑵⌝(p∨q)→(⌝p∧r)⇔⌝⌝(p∨q)∨(⌝p∧r)⇔(p∨q)∨(⌝p∧r)⇔(p∨q∨⌝p)∧(p∨q∨r)⇔p∨q∨r⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧⌝q∧⌝r)∨(p∧⌝q∧r)∨(p∧q∧⌝r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)⇔∑1,2,3,4,5,6,7使得命题公式⌝(p∨q)→(⌝p∧r)成真的赋值是：001，010、011，100，101，110，111。
⑷(⌝p→q)→(p∨⌝q)⇔⌝(⌝⌝p∨q)∨(p∨⌝q)⇔⌝(p∨q)∨(p∨⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∨⌝q)⇔(p∨⌝q∨⌝p)∧(p∨⌝q∨⌝q)⇔p∨⌝q⇔(⌝p∧⌝q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)(主析取范式)⇔∑0,2,34.求下列命题公式的主合取范式，并求命题公式的成假赋值。
⑴(p→q)∧r⇔(⌝p∨q)∧r⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨r)∧(p∨r)⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)∧(p∨q∨r)∧(p∨⌝q∨r)⇔∏0,2,4,5,6使得命题公式(p→q)∧r成假的赋值是：000,010,100,101,110。
5.求下列命题公式的主析取范式，再用主析取范式求出主合取范式。
⑴(p→q)∧(q→r)⇔(⌝p∨q)∧(⌝q∨r)⇔((⌝p∨q)∧⌝q)∨((⌝p∨q)∧r)⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧r)∨(q∧r)⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔(⌝p∧⌝q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧⌝r)∨(⌝p∧q∧r)∨(p∧q∧r)(主析取范式)⇔∑0,1,3,7⇔∏2,4,5,6⇔(p∨⌝q∨r)∧(⌝p∨q∨r)∧(⌝p∨q∨⌝r)∧(⌝p∨⌝q∨r)(主合取范式)6. 求下列命题公式的主合取范式，再用主合取范式求出主析取范式。
⑵(p∧q)→q⇔⌝(p∧q)∨q⇔⌝p∨⌝q∨q⇔T(无主合取范式)⇔∑0,1,2,3⇔(⌝p∧⌝q)∨(⌝p∧q)∨(p∧⌝q)∨(p∧q)1.将下列命题公式用只含⌝，∧，∨的等价式表示。
⑷(p↔q)↔r⇔((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))↔r⇔(((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))∧r)∨(⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))∧⌝r)⇔((p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r))∨(((⌝p∨⌝q)∧(p∨q))∧⌝r)⇔(p∧q∧r)∨(⌝p∧⌝q∧r)∨((⌝p∨⌝q)∧(p∨q)∧⌝r)3.将下列命题公式用只含⌝，∧的等价式表示。
⑷(⌝p→q)→(p∨⌝q)⇔⌝(p∨q)∨⌝(p↔⌝q)⇔(⌝p∧⌝q)∨⌝((p∧⌝q)∨(⌝p∧q))⇔⌝(⌝(⌝p∧⌝q)∧⌝(⌝(p∧⌝q)∧⌝(⌝p∧q)))7.将下列命题公式仅用“↑”表示。
⑴⌝p⇔⌝(p∧p)⇔p↑p3.推理证明下列各题的有效结论。
⑴p→(q∨r)，(t∨s)→p，(t∨s)⇒q∨r证明：⑴t∨s P⑵(t∨s)→p P⑶p T⑴⑵假言推理⑷p→(q∨r) P⑸q∨r T⑶⑷假言推理⑵p∧q，(p↔q)→(t∨s)⇒(t∨s)证明:⑴p∧q P⑵p T⑴化简律⑶q T⑴化简律⑷p→q T⑶例1.30(2)⑸q→p T⑵例1.30(2)⑹(p→q)∧(q→p) T⑷⑸合取引入⑺p↔q T⑹双条件等价式⑻(p↔q)→(t∨s) P⑼t∨s T⑺⑻假言推理⑹⌝p∨⌝s，p→q，r→s⇒⌝p∨⌝r证明:⑴⌝(⌝p∨⌝r) P(附加前提)⑵p∧r T⑴条件等价式⑶p T⑵化简律⑷r T⑵化简律⑸r→s P⑹s T⑷⑸假言推理⑺⌝p∨⌝s P⑻⌝p T⑹⑺析取三段论⑼⌝p∧p(矛盾)T⑶⑻合取引入4.用CP规则推证下列各题的有效结论。
⑴⌝p∨q,r→⌝q⇒p→⌝r证明:⑴p P(附加前提)⑵⌝p∨q P⑶q T⑴⑵析取三段论⑷r→⌝q P⑸⌝r T⑶⑷拒取式⑹p→⌝r CP规则⑵p∨q→r∧s，s∨t→u⇒p→u证明:⑴p P(附加前提)⑵p∨q T⑴附加律⑶p∨q→r∧s P⑷r∧s T⑵⑶假言推理⑸s T⑷化简律⑹s∨t T⑸附加律⑺s∨t→u P⑻u T⑹⑺假言推理⑼p→u CP规则5.用归谬法推证下列各题的有效结论。
⑴p∧q，(p↔q)→(t∨s)⇒t∨s证明:⑴⌝(t∨s) P(附加前提)⑵(p↔q)→(t∨s) P⑶⌝(p↔q)T⑴⑵拒取式⑷⌝((p∧q)∨(⌝p∧⌝q))T⑶例1.17⑸⌝(p∧q)∧⌝ (⌝p∧⌝q)T⑷德·摩根律⑹⌝(p∧q) T⑸化简律⑺p∧q P⑻(p∧q)∧⌝(p∧q)(矛盾)T⑹⑺合取引入6.证明下面各命题推得的结论是有效的：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验。
如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验。
今天是星期三且离散数学老师有事。
所以，我有一次数字逻辑测验。
证明：设p：今天是星期三。
q：我有一次离散数学测验。
r：我有一次数字逻辑测验。
s：离散数学课老师有事。
该推理就是要证明：p→(q∨r)，s→⌝q，p∧s⇒r⑴p∧s P⑵p T⑴化简律⑶s T⑴化简律⑷s→⌝q P⑸⌝q T⑶⑷假言推理⑹p→(q∨r) P⑺q∨r T⑵⑹假言推理⑻r T⑸⑺析取三段论2．将下列命题符号化。
并讨论它们的真值。
(1) 有些实数是有理数。
解：设R(x)：x是实数。
Q(x)：x是有理数。
“有些实数是有理数。
”符号化为：(∃x)(R(x)∧Q(x))它的真值为：真。
(2) 凡是人都要休息。
解：设R(x)：x是人。
S(x)：x要休息。
“凡是人都要休息。
”符号化为：(∀x)(R(x)→S(x))它的真值为：真。
4．分别在全总个体域和实数个体域中，将下列命题符号化。
(1) 对所有的实数x，都存着实数y，使得x－y=0解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∀x)(∃y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∀x)(R(x)→(∃y)(R(y)∧B(x,y)))(2) 存在着实数x，对所有的实数y，都有x－y=0解：设R(x)：x是实数。
B(x,y)：x－y=0。
在实数个体域符号化为：(∃x)(∀y)B(x,y)在全总个体域符号化为：(∃x)(R(x)∧(∀y)(R(y)→B(x,y)))1. 设个体域为D=⎨1,2,3⎬，试消去下列各式的量词。
(1) (∀x)P(x)解：(∀x)P(x)⇔P(1)∧P(2)∧P(3)(2) (∀x)P(x)→(∃y)Q(y)解：(∀x)P(x)→(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))→(Q(1)∨Q(2)∨Q(3)) (3) (∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)解：(∀x)P(x)∨(∃y)Q(y)⇔(P(1)∧P(2)∧P(3))∨(Q(1)∨Q(2)∨Q(3))2. 求下列各式的真值。