专题7.3 临界知识问题一．方法综述对于临界知识问题，其命题大致方向为从形式上跳出已学知识的旧框框，在试卷中临时定义一种新知识，要求学生快速处理，及时掌握，并正确运用，充分考查学生独立分析问题与解决问题的能力，多与函数、平面向量、数列联系考查。

另外，以高等数学为背景，结合中学数学中的有关知识编制综合性问题，是近几年高考试卷的热点之一，常涉及取整函数、最值函数、有界函数、有界泛函数等。

二．解题策略类型一定义新知型临界问题【例1】用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝()()()()()()()(),{,C A C B C A C BC B C A C A C B-≥-<若A＝{1,2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于( ) A． 1 B． 3 C． 5 D． 7【答案】B【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。

但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

【举一反三】设a ，b ∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝,{,a a b b a b≤>，a ∨b ＝,{,b a b a a b≤>若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则（ ）A ． a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B． a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C ． a ∨b ≥2，c ∧d ≤2 D． a ∨b ≥2，c ∨d ≥2 【答案】C【解析】不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c ．若b <2，则a <2，∴ab <4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2．故a ∨b ≥2． 若c >2，则d >2，∴c ＋d >4，与c ＋d ≤4矛盾，∴c ≤2．故c ∧d ≤2． 本题选择C 选项．类型二 高等数学背景型临界问题【例2】设S 是实数集R 的非空子集，若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题：①集合S ＝{a ＋b 3|a ，b 为整数}为封闭集；②若S 为封闭集，则一定有0∈S ；③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆R 的任意集合T 也是封闭集．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号) 【答案】①②【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2018届上学期期末】定义行列式运算12142334a a a a a a a a =-，将函数()3sin 1cos xf x x=的图像向左平移(0)n n >个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小值为（ ）A ．6π B ． 3π C ． 23π D ． 56π 【答案】D【解析】函数()3sin 32cos 61cos x f x cosx sinx x x π⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移n （n ＞0）个单位，所得图象对应的函数为y=2cos （x+n+6π），根据所得函数为偶函数，可得n+6π=kπ，k∈z， 则n 的最小值为56π，故选：D ． 类型三 立体几何中的临界问题立体几何的高考题中，最主要考查点是几何元素位置关系及角、距离的计算、三视图等，除此之外，还有可能涉及到与立体几何相关的临界知识，如立体几何与其他知识的交汇，面对这些问题，需要有较强的分析判断能力及思维转换能力，还需要我们对这些问题作一些分析归类，加强知识间的联系，才能让所学知识融会贯通.【例3】【河南省南阳市一中2018届第六次考试】点P 为棱长是3的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点P 满足1BP AC ⊥，则动点P 的轨迹的长度为__________． 【答案】6π【举一反三】【江西省抚州市临川区一中2018届上学期质检】已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为（ ）A ． 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ． 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ． 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】依题意，当点M 为线段BC 的中点时，由题意可知，截面为四边形1AMND ，从而当102BM <≤时，截面为四边形，当12BM >时，该截面与正方体的上底面也相交，所以截面为五边形，故线段BM 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，故选B ．三．强化训练1．【上海市长宁、嘉定区2018届一模】对任意两个非零的平面向量αv 和βv ，定义cos ααβθβ⊗=vv v v ，其中θ为αv 和βv 的夹角．若两个非零的平面向量a v 和b v 满足：①a b ≥v v ；②a v 和b v 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；③a b ⊗v v 和b a ⊗v v 的值都在集合|, 2n x x n N ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭中．则a b ⊗v v 的值为（ ）．A ．52 B ． 32 C ． 1 D ． 12【答案】B2．【北京市西城区2017— 2018第一学期期末】设α为空间中的一个平面，记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中到α的距离为(0)d d >的点的个数为m ， m 的所有可能取值构成的集合为M ，则有（ ） A ． 4M ∈， 6M ∉ B ． 5M ∉， 6M ∉ C ． 4M ∉， 6M ∈ D ． 5M ∉， 6M ∈ 【答案】D 【解析】当α为面11BB D D 时，A,C, 1C ,1A 到面α的距离相等，即4M ∈，排除C;取E,F,G,H 为1111BC B C C D ，，， CD 的中点，记α为EFGH 时，点111,,,,,B B D D C C ，六个点到面α的距离相等，即6M ∈，排除A,B ． 故选D ．3．【湖南师大附中2018届上学期月考】狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数，若()1,{0,R x Q f x x C Q∈=∈，则称()f x 为狄利克雷函数．对于狄利克雷函数()f x ，给出下面4个命题：①对任意x R ∈，都有()1f f x ⎡⎤=⎣⎦；②对任意x R ∈，都有()()0f x f x -+=；③对任意1x R ∈，都有2x Q ∈， ()()121f x x f x +=；④对任意(),,0a b ∈-∞，都有(){}(){}x f x a x f x b =．其中所有真命题的序号是（ ）A ． ①④ B． ②③ C． ①②③ D． ①③④ 【答案】D（x ）≥0恒成立，∴对任意a ，b∈（-∞，0），都有{|}{|}x f x a x f x b R ==（）＞（）＞ ，故④正确，故正确的命题是①③④，故选D ．4．【北京市朝阳区2018届第一学期期末】如图， PAD ∆为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ．若点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD及其内部的轨迹为（ ）A ． 椭圆的一部分B ． 双曲线的一部分C ． 一段圆弧D ． 一条线段 【答案】D【解析】在空间中，存在过线段PC 中点且垂直线段PC 的平面，平面上点到,P C 两点的距离相等，记此平面为α，平面α与平面ABCD 有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为一条线段，选A ．5．【湖南省株洲市2018届教学质量统一检测】已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC ，分别交于三点,,M N Q ，若MNQ ∆为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（ ） A ． 22． 3 C ． 23． 4 【答案】C当a b b c -=-时取等号．故答案为23．故选C ．6．【河北省衡水市阜城中学2017-2018上学期第五次月考】定义方程()()f x f x ='的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()g x x =， ()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为,,αβγ，则,,αβγ的大小关系为（ ）A ． αβγ>>B ． βαγ>>C ． γαβ>>D ． βγα>> 【答案】C7．【吉林省实验中学2018届一模】在正四棱柱1111ABCD A B C D -中, 14,2AA AB BC === ，动点,P Q分别在线段1,C D AC 上，则线段PQ 长度的最小值是（ ）A ．223 B ． 23 C ． 43D ． 25【答案】C 【解析】建立如图所示空间直角坐标系， 则A(2,0,0),C(0,2,0),C 1(0,2,4),()()22910160,,2,0,2,2,,0,0,255599m P t t t Q m m m PQ t m ⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎤⎡∈-∈∴=-+-+ ⎪ ⎪⎦⎣⎣⎦⎝⎭⎝⎭当且仅当1059t m ==时，PQ 取最小值43，选C ． 8．【陕西省西安市长安区一中2017-2018上学期期末】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,22AB CC ==， E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）A ． 1B ．3C ．2D ． 2 【答案】A9．【河南省南阳市一中2017-2018上学期第四次月考】已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量()1,n n n c a a +=u u v ，(),1n b n n =+u u v， *N n ∈．下列命题中真命题是（ ）A ． 若*N n ∀∈总有n n c b ⊥u u v u u v成立，则数列{}n a 是等比数列B ． 若*N n ∀∈总有n n c b P u u v u u v成立，则数列{}n a 是等比数列C ． 若*N n ∀∈总有n n c b ⊥u u v u u v成立，则数列{}n a 是等差数列D ． 若*N n ∀∈总有n n c b P u u v u u v成立，则数列{}n a 是等差数列【答案】D10．【北京市海淀区2018届第一学期期末】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____． 33【解析】 由题意得，过点Q 作QN ⊥平面ABCD ，垂足为N ， 在点N 在线段AC 上，分别连接,PQ PN , 在直角PNQ ∆中， ()222242PQ QN PN PN =+=+在平面ABCD 内过点M 作MA AC ⊥，则2MA =，即M 到直线AC 的最短距离为2， 又1PM =，当P MA ∈时，此时min 11PN MA =-=, 所以PQ 的最小值为()22min 42133PQ =+=11．【广西桂林市、贺州市2018届上学期期末联考】把长AB 和宽AD 分别为32的长方形ABCD 沿对角线AC 折成B AC D --的二面角()0θθπ<<，下列正确的命题序号是__________． ①四面体ABCD 外接球的体积随θ的改变而改变； ②BD 的长度随θ的增大而增大；③当2πθ=时，BD 长度最长；④当23πθ=时， BD 长度等于13． 【答案】②④12．【山西省太原十二中2018届上学期1月月考】在四棱锥P ABCD -中， PC ⊥底面ABCD ，底面为正方形， //QA PC ， PBC AQB ∠=∠= 60o ，记四棱锥P ABCD -的外接球与三棱锥B ACQ -的外接球的表面积分别为12,S S ，则21S S =___． 【答案】15713．【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上学期期末考试】对于四面体ABCD ，有以下命题：（1）若AB AC AD ==，则过A 向底面BCD 作垂线，垂足为底面ABC ∆的外心；（2）若AB CD ⊥， AC BD ⊥，则过A 向底面BCD 作垂线，垂足为底面ABC ∆的内心；（3）四面体A BCD -的四个面中，最多有四个直角三角形；（4）若四面体A BCD -的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为6π． 其中正确的命题是__________．【答案】()()()134【解析】对于①，设点A 在平面BCD 内的射影是O ，因为AB=AC=AD ，所以OB=OC=OD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的外心，故①正确；对于②设点A 在平面BCD 内的射影是O ，则OB 是AB 在平面BCD 内的射影，因为AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理可知：CD⊥OB 同理可证BD⊥OC，所以O 是△BCD 的垂心，故②不正确；对于③：如图：直接三角形的直角顶点已经标出，直角三角形的个数是4．故③正确；14．【湖南师范大学附属中学2018届上学期月考】如图所示，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D 中，点,E F 分别是棱11C D ， 11B C 的中点，过A ， E ， F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为__________．【答案】61332+15．【河北衡水金卷2018届高考模拟一】如图，在直角梯形ABCD 中， AB BC ⊥， //AD BC ， 112AB BC AD ===，点E 是线段CD 上异于点C ， D 的动点， EF AD ⊥于点F ，将DEF ∆沿EF 折起到∆ PEF 的位置，并使PF AF ⊥，则五棱锥P ABCEF -的体积的取值范围为__________．【答案】10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】,,PF EF PF AF EF AF F ⊥⊥⋂=Q ， PF ∴⊥平面ABCEF ，设()01DF x x =<<，则,2,EF x FA x ==- ABCEF ABCD DEF S S S ∆∴=- ()()221111213,222x x =+⨯-=-∴五棱锥P ABCDEF -的体积()()()2311133326V x x x x x =⨯-⋅=-， ()()21'102V x x =-=，得1x =或1x =-（舍去），当01x <<时， ()()'0,V x V x >单调递增，故()()()01V V x V <<，即()V x 的取值范围是10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． 16．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1)．设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线．其中不成立的结论是________．(写出所有不成立结论的序号)【答案】④17．【山东省济南市长清第一中学大学科技园校区2017- 2018第三次阶段性质量检测】设平面//α平面β，A 、C a ∈，B 、D β∈，直线AB 与CD 交于点S ，且点S 位于平面α，β之间，8AS =，6BS =，12CS =，则SD =__________．【答案】9【解析】根据题意做出如下图形：∵AB，CD 交于S 点∴三点确定一平面，所以设ASC 平面为n ，于是有n 交α于AC ，交β于DB ，∵α，β平行，∴AC∥DB，∴△ASC∽△DSB， ∴AS SB =CS SD， ∵AS=8，BS=6，CS=12，∴8126SD =解得SD=9． 故答案为918．【湖南师范大学附属中学2017-2018上学期第二次阶段性检测】对定义在区间D 上的函数()f x ，若存在常数0k >，使对任意的x D ∈，都有()()f x k f x +>成立，则称()f x 为区间D 上的“k 阶增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥ ， ()22f x x a a =--．若()f x 为R 上的“4阶增函数”，则实数a 的取值范围是__________．【答案】()1,1-。