高考数学压轴题精选(一)1．（本小题满分12分）设函数x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数。

求正实数a 的取值范围；设1,0>>a b ，求证：.ln 1bb a b b a b a +<+<+ 解：（1）01)(2'≥-=axax x f 对),1[+∞∈x 恒成立， xa 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立又11≤x1≥∴a 为所求。

（2）取b b a x +=，1,0,1>+∴>>bba b a ，一方面，由（1）知x axxx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数，0)1()(=>+∴f bba f0ln 1>+++⋅+-∴b b a b b a a b ba …即ba b b a +>+1ln另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G)1(0111)('>>-=-=x xx x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续，又01)1(>=G∴当1>x 时，0)1()(>>G x G∴x x ln >即bba b b a +>+ln综上所述，.ln 1bb a b b a b a +<+<+ 2．已知椭圆C 的一个顶点为(0,1)A -，焦点在x 轴上，右焦点到直线10x y -+=（1）求椭圆C 的方程；？（2）过点F （1，0）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，设,(2,0)FA FB T λ=，若||],1,2[+--∈求λ的取值范围。

解：（1=1c =…………………1分由题意1,b a =∴=所以椭圆方程为2212x y +=………………………3分 （2）容易验证直线l 的斜率不为0。

故可设直线l 的方程为1x ky =+，2212x y +=代入中，得.012)2(22=-++ky y k设1122(,),(,),A x y B x y则22221+-=+k k y y .21221+-=k y y ……………………………5分 ∵λ=∴有.021<=λλ，且y y{222122212()414222y y k k y y k k λλ+∴=-⇒++=-++由021212125]1,2[≤++≤-⇒-≤+≤-⇒--∈λλλλλ.72072024212222≤≤⇒≤⇒≤+-≤-⇒k k k k …………7分∵).,4(),,2(),,2(21212211y y x x y x y x +-+=+∴-=-=又.2)1(42)(4,22222121221++-=-+=-+∴+-=+k k y y k x x k k y y故2212212)()4(||y y x x TB TA ++-+=+222222222222)2(8)2(28)2(16)2(4)2()1(16+++-+=++++=k k k k k k k 222)2(822816+++-=k k ……………………………………………………8分令720.2122≤≤+=k k t ∴21211672≤+≤k ，即].21,167[∈t ∴.217)47(816288)(||222--=+-==+t t t t f而]21,167[∈t ，∴169()[4,]32f t ∈∴].8213,2[||∈+TB TA ………………………………………………………10分 '3．设函数322()f x x ax a x m =+-+(0)a >（1）若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点，求m 的范围； （2）若函数()f x 在[]1,1-内没有极值点，求a 的范围；（3）若对任意的[]3,6a ∈，不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）当1a =时32()f x x x x m =+-+，因为()f x 有三个互不相同的零点，所以32()0f x x x x m =+-+=， 即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根。

令32()g x x x x =--+，则'2()321(31)(1)g x x x x x =--+=--+。

因为()g x 在(,1)-∞-和13(,)+∞均为减函数，在()131,-为增函数， ]m 的取值范围()5271,-（2）由题可知，方程'22()320f x x ax a =+-=在[]1,1-上没有实数根，因为'2'2(1)320(1)3200f a a f a a a ⎧=+-≤⎪-=--≤⎨⎪>⎩，所以3a ≥（3）∵'223()323()()a f x x ax a x x a =+-=-+，且0a >，∴函数()f x 的递减区间为3(,)a a -，递增区间为(,)a -∞-和3(,)a+∞；当[]3,6a ∈时，[]31,2,3,a a ∈-≤-又[]2,2x ∈-，∴{}max ()max (2),(2)f x f f =-而2(2)(2)1640f f a --=-<∴2max ()(2)842f x f a a m =-=-+++，又∵()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立，∴max ()1f x ≤，即28421a a m -+++≤，即2942m a a ≤--在[]3,6a ∈恒成立。

，∵2942a a --的最小值为87-4．（本题满分14分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，直线:l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切。

（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设椭圆1C 的左焦点为F 1，右焦点为F 2，直线1l 过点F 1，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于点P ，线段PF 2的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹C 2的方程；（Ⅲ）若AC 、BD 为椭圆C 1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F 2，求四边形ABCD 的面积的最小值．解：（Ⅰ）2222222221,,22c a b e e a b a a -=∴===∴=22202:b y x y x l =+=+-与圆直线 相切22,2,4,8,b b b a =∴==∴=—∴椭圆C 1的方程是221.84x y += …………3分（Ⅱ）∵MP=MF 2，∴动点M 到定直线1:2l x =-的距离等于它到定点F 2（2，0）的距离，∴动点M 的轨迹C 是以1l 为准线，F 2为焦点的抛物线∴点M 的轨迹C 2的方程为28y x = …………6分（Ⅲ）当直线AC 的斜率存在且不为零时，设直线AC 的斜率为k ，),(),,(2211y x C y x A ，则直线AC 的方程为(2).y k x =-联立2222221(2)(12)8880.84x y y k x k x k x k +==-+-+-=及得 所以22121222888,.1212k k x x x x k k -+==++||AC === (9)由于直线BD 的斜率为kk 1,1--用代换上式中的k 可得||BD =∵BD AC ⊥， <∴四边形ABCD 的面积为2222116(1)||||2(2)(12)k S AC BD k k +=⋅=++……．．12分由2222222(12)(2)3(1)(12)(2)[][]22k k k k k ++++++≤= 所以2264,122,19S k k k ≥+=+=±当时即时取等号．…………13分易知，当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD 的面积8S =5．（本小题满分14分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a>b>0）的左．右焦点分别为F 1．F 2，离心率e ＝22，右准线方程为x ＝2． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点F 1的直线l 与该椭圆相交于M ．N 两点，且|F 2M →＋F 2N →|＝2263，求直线l 的方程． 解析：（1）由条件有⎩⎨⎧c a＝22，a2c ＝2解得a ＝2，c ＝1．∴b ＝a 2－c 2＝1．;所以，所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1．（2）由（1）知F 1（－1,0）．F 2（1,0）．若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－1，将x ＝－1代入椭圆方程得y ＝±22． 不妨设M ⎝⎛⎭⎫－1，22．N ⎝⎛⎭⎫－1，－22， ∴F 2M →＋F 2N →＝⎝⎛⎭⎫－2，22＋⎝⎛⎭⎫－2，－22＝（－4,0）．∴|F 2M →＋F 2N →|＝4，与题设矛盾． ∴直线l 的斜率存在．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k （x ＋1）． 设M （x 1，y 1）．N （x 2，y 2），联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k(x ＋1)>消y 得（1＋2k 2）x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0．由根与系数的关系知x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，从而y 1＋y 2＝k （x 1＋x 2＋2）＝2k1＋2k 2． 又∵F 2M →＝（x 1－1，y 1），F 2N →＝（x 2－1，y 2）， ∴F 2M →＋F 2N →＝（x 1＋x 2－2，y 1＋y 2）．∴|F 2M →＋F 2N →|2＝（x 1＋x 2－2）2＋（y 1＋y 2）2 ＝⎝⎛⎭⎫8k 2＋21＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 1＋2k 22＝4(16k 4＋9k 2＋1)4k 4＋4k 2＋1．∴4(16k 4＋9k 2＋1)4k 4＋4k 2＋1＝⎝⎛⎭⎫22632．化简得40k 4－23k 2－17＝0，解得k 2＝1或k 2＝－1740（舍）．∴k ＝±1．∴所求直线l 的方程为y ＝x ＋1或y ＝－x －1．>6.（本小题满分12分）已知a R ∈，函数()ln 1a f x x x=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．（1）判断函数()f x 在区间(]0,e 上的单调性；（2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直 若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．解（1）：∵()ln 1a f x x x=+-，∴221()a x a f x x x x -'=-+=．令()0f x '=，得x a =．①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增.②若0a e <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减， 当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],a e 上单调递增， ]③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减. ……6分（2）解：∵()()ln 1xg x x e x =-+，(]0,x e ∈，()()()()ln 1ln 11x x g x x e x e '''=-+-+()1ln 11ln 11x x x e x e x e x x ⎛⎫=+-+=+-+ ⎪⎝⎭由（1）可知，当1a =时，1()ln 1f x x x=+-．此时()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln10=，即1ln 10x x+-≥．当(]00,x e ∈，00x e >，01ln 10x x +-≥，∴00001()ln 1110x g x x e x ⎛⎫'=+-+≥> ⎪⎝⎭． 曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解． 而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解． 故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在0x x =处的切线与y 轴垂直……12分)7．（本小题满分12分）已知线段CD =，CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常数）．（1）建立适当的直角坐标系，求动点A 所在的曲线方程；（2）若2a =，动点B 满足4BC BD +=，且OA OB ⊥，试求AOB ∆面积的最大值和最小值． 解（1）以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系.若2AC AD a +=<，即0a <<动点A所在的曲线不存在；若2AC AD a +==a =，动点A所在的曲线方程为0(y x =；若2AC AD a +=>a >，动点A 所在的曲线方程为222213x y a a +=-.……4分 (2)当2a =时，其曲线方程为椭圆2214x y +=.由条件知,A B 两点均在椭圆2214x y +=上，且OA OB ⊥设11(,)A x y ，22(,)B x y ，OA 的斜率为k (0)k ≠，则OA 的方程为y kx =，OB 的方程为1y x k=-解方程组2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得212414x k=+，2212414k y k =+ >同理可求得222244k x k =+，22244y k =+AOB ∆面积212211112S k x x k =++=2222(1)2(14)(4)k k k +++………………8分 令21(1)k t t +=>则222122994994t S t t t t==+--++令22991125()49()(1)24g t t t t t =-++=--+>所以254()4g t <≤，即415S ≤<当0k =时，可求得1S =,故415S ≤≤，故S 的最小值为45，最大值为1. ……12分8.（本小题满分12分）设)0(1),(),,(22222211>>=+b a bx a y y x B y x A 是椭圆上的两点，已知向量),(),,(2211a yb x n a y b x m ==,若0=⋅n m 且椭圆的离心率e=32,短轴长为2，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的方程； ^（Ⅱ）试问：△AOB 的面积是否为定值如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由解：2232 2.1,2,c 32c a b b b e a a a -=====⇒==椭圆的方程为1422=+x y 4分 (2) ①当直线AB 斜率不存在时，即1212,x x y y ==-,由0=⋅n m22221111044y x y x -=⇒=…………5分又11(,)A x y 在椭圆上，所以2,22144112121==⇒=+y x x x 11211112122s x y y x y =-==所以三角形的面积为定值.……6分②当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y=kx+b~42042)4(1422122222+-=+=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k kb x x b kbx x k x y bkx y 得到 442221+-=k b x x ，=(2kb)24(k 2+4)(b 24)>0……………8分而0=⋅n m ,:04))((0421212121代入整理得=+++⇔=+b kx b kx x x y y x x 2224b k -= ……………10分S=12|b|1+k 2|AB|=12|b|(x 1+x 2)24x 1x 2=|b|4k 24b 2+162(k 2+4)=4b 22|b|=1 综上三角形的面积为定值1.………………………12分9.已知函数()f x 的导数2'()33，=-f x x ax (0)=f b ．a ，b 为实数，12a <<． (1) 若()f x 在区间[11]-，上的最小值、最大值分别为2-、1，求a 、b 的值； (2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P （2，1）处的切线方程； (3)@(4)设函数2()['()61]x F x f x x e =++，试判断函数()F x 的极值点个数．解：(1) 由已知得，323()2f x x ax b =-+， 由()0f x '=，得10x =，2x a =． ∵[1, 1]x ∈-，12a <<，∴ 当[1, 0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 递增；当(0, 1]x ∈时，()0f x '<，()f x 递减． ∴ ()f x 在区间[1, 1]-上的最大值为(0)f b =，∴1b =．又33(1)11222f a a =-+=-，33(1)1122f a a -=--+=-，∴ (1)(1)f f -<．由题意得(1)2f -=-，即322a -=-，得43a =． 故43a =，1b =为所求．?(2) 由 (1) 得32()21f x x x =-+，2()34f x x x '=-，点(2, 1)P 在曲线()f x 上．当切点为(2, 1)P 时，切线l 的斜率2()|4x k f x ='==， ∴ l 的方程为14(2)y x -=-， 即470x y --=． (32222()(3361)33(2)1x xF x x ax x e x a x e ⎡⎤=-++⋅=--+⋅⎣⎦ []222()63(2)233(2)1x xF x x a e x a x e'⎡⎤=--⋅+--+⋅⎣⎦22[66(3)83]xx a x a e=--+-⋅二次函数266(3)83y x a x a =--+-的判别式为22236(3)24(83)12(31211)123(2)1a a a a a ⎡⎤∆=---=-+=--⎣⎦令0∆≤，得：2133(2),22a a -≤≤≤+令0∆>，得3322a a <>或 ∵20x e >，12a <<， ~ ∴当322a ≤<时，()0F x '≥，函数()F x 为单调递增，极值点个数为0； 当3123a <<-时，此时方程()0F x '=有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数()F x 有两个极值点．10.已知函数f (x )=21ln ,[,2]2a x x a R x x-⎛⎫+∈∈ ⎪⎝⎭(1)当1[2,)4a ∈-时, 求()f x 的最大值;(2) 设2()[()ln ]g x f x x x =-⋅, k 是()g x 图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a ，使得1k <恒成立若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由．`|》(2)存在7(,]4a ∈-∞符合条件解: 因为2()[()ln ]g x f x x x =-⋅=3ax x -不妨设任意不同两点111222(,),(,)p x y p x y ，其中12x x <则331212211212221122()()()--+-==--=-++y y a x x x x k x x x x a x x x x 由1k <知:a < 1+221122()x x x x ++ 又22144x ≤≤故74a ≤故存在7(,)4a ∈-∞符合条件．…12分解法二:据题意在()y g x =图象上总可以在找一点00(,)P x y 使以P 为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在2120012()()'()31g x g x k g x a x x x -===-<-207134a x ∴<+≤故存在7(,)4a ∈-∞符合条件．>11．A ﹑B ﹑C是直线l 上的三点，向量OA ﹑﹑OC 满足：-[y+2)1(f ']·+ln(x+1)·= ；（Ⅰ）求函数y=f(x)的表达式； （Ⅱ）若x ＞0, 证明f(x)＞22+x x； （Ⅲ）当32)(21222--+≤bm m x f x 时,x ∈[]1,1-及b ∈[]1,1-都恒成立，求实数m 的取值范围。