1 2

4
又∵b=2∴a=2 2 sinA，c=2 2 sinC，
3 ∴S＝ ac sin B ＝2 2 sinAsinC＝2 2 sinAsin －A 4 变形化简得：S来自 2 sin(2A－ ∵A∈（0，

4
)+1
3 5 ）∴2A－ ∈（－ ， ）∴Smax＝ 2 +1 4 4 4 4
s 1 在余弦定理得出的结论中， 出现了 ac， 也出现了 a2+c2， ac sin B 也就是求出 ac 的最大值， 2

ac 是目标中需要的， 不必急于处理， 而能够建立 a2+c2 与 ac 之间的联系是什么呢？这样学生 2 2 就容易找到重要不等式 a +c ≥2ac，这样就能从等式中“创造”出不等式了，达到求解的目 的。 【法 1】由（1）得 B＝
7
c a 2
2
3
cosC）=2
7
sin(C+ )，其中 cos = 2 ，sin = 3 .可知 ∈ 0，
7 7

2
a 2 c 2 ac 3 ， 【法 2】 由余弦定理得： 配方得：

3c 2
a 3 c ， a 2 c 2 ac 3 ，然后陷入思维僵局，不知所措。那么如何顺着学 sin A sin 60 sin C 生的思路教给学生解题的自然之法呢？
我们知道在解三角形问题中， 两大理论工具就是正弦定理和余弦定理， 两大操作方法就 是角化边和边化角， 在遇到二次问题是常用方法有配方法， 而遇到多元问题常用方法是降元， 即二元化一元这些基本的自然的方法。 设 A、B、C 的对边分别为 a、b、c。分析这道题中，要求 c+2a，如果从正弦定理入手， 目标要求边的形式，而边的变化相对角的变化要少得多，于是可以考虑把边化成角来计算。 于是可以引导采用正弦定理入手的同学，把边转化成角来计算。而另一个角度看这个问题， 是关于边 a 与边 c 的二元问题，也可以考虑把二元化成一元来解决，而二元化一元的方法常 用三角换元法，于是可以引导从余弦定理入手的同学，把关于 a、c 的二次方程配方之后进 行三角换元。于是自然就得到了下面的两种解法。 【法 1】由正弦定理得：a＝2sinA，c=2sinC，于是 c+2a=2sinA+2sinC=2sinA+4sin(60°+A)，化 简得 c+2a=2（2sinC+ 故： （c+2a）max＝2
2
3
， 设a
c 3 cos ， 2
3c ∴c=2sin ， 故 （c+2a） a= 3 cos sin .于是 c+2a＝2 7 sin( + )。 3 sin ， max＝2 7 2
例 2： （2013 新课标全国卷） 在△ABC 中， 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c， 已知 a=bcosC+csinB。 （1）求 B。 （2）若 b＝2，求△ABC 面积的最大值。 解析：第一问学生一般没问题，至少有两种方法可以得出 B＝ ，在第二问中，学生们在有 4 了例 1 的分析解答，一部分学生能够根据正弦定理把边 a 和边 c 用角的三角函数表示出来， 转化成角，然后使用二元换一元的方法换成只有一个角 A 的函数，再降幂变形求解。然而， 还有相当一部分的学生用余弦定理写出 4 a 2 c 2 2 ac ，之后就不知道如何能与△ABC 面 积建立联系，怎么一个等式就能变成不等式呢？ 顺着学生的思路引导学生，我们的目标是求△ ABC 面积的最大值，可以选择公式
破解解三角形中最值问题的自然之道
石家庄市第十五中学 李会金 “数学是自然的” 。 在人教版普通课程标准实验教科书的主编寄语中， 很明确地说明 “数 学是自然的” 、 “数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的” 。那么，解决数 学问题的方法自然也应当是 “自然的” 。 高考题的第 17 题的位置常常是数列或解三角形的问 题，问题难度并不大，对知识与能力的要求是掌握，但是当解三角形与不等式结合，求最值 时，学生们往往并不容易找到解题的方法，那是还没有学懂其中的“自然之道” 。本文结合 实例来谈解三角形中的最值问题的自然之法，如何自然而为。 例 1：在△ABC 中，B＝60°，AC＝ 3 ，则 AB+2BC 的最大值为_______。 解析： 许多学生拿到这题时， 感到茫然， 或者只是能够列出正弦定理和余弦定理的两个式子：

3
，a=
3
，则 b2+c2 的取值
范围是________. 解析：这道的入手依然是正弦定理和余弦定理。第一种方法用正弦定理，二元化一元，没有 太多变化，而且很顺利求解。但是在第二种方法，使用余弦定理和均值定理之后，得到的结 果完全不是学生所想象的“a2+c2 有最小值（当且仅当 a=c 时取到） ”那么是什么原因造成的 呢？从解答过程中我们可以找到答案 【法 1】由正弦定理得：b=2sinB，c=2sinC，于是 b2+c2=4(sin2B+sin2C)=4－2cos(2B+ ∵B∈（0，
综观以上三道例题，我们可以体会到，所谓的解题“自然之道” ，就是读懂题目信息， 正确而直接建立其中信息与基础知识的联系， 找到解读这些信息的在教材中的根源， 那么解 题的思维过程就是自然的， 解法是自然的， 完善对各种问题的认识过程也是一个自然的过程 了。当然，以上例题还可以考虑是否有其他方法，比如例 2 就可以用几何方法来解答，几何 法解题时，就要求对几何位置容易判断，好解释，而在例 1 和例 3 中这种方法就有很大的局 限性了，因此， “自然之道”强调的依然是通性通法（解三角形问题的两大方法） ，强调的依 然是基础知识基本技能（解三角形的两大定理和均值定理、三角运算）这些基本功的扎实， 强调的建立各章节知识的融汇贯通。 为了加深对解题“自然之道”的理解，下面再配上一些解三角形中的最值问题的其它不 同方面的习题，供读者体验感悟，加深认识。 练 1： （2012 陕西高考）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，若 a2+b2=2c2， 则 cosC 的最小值为（ C ） A.
2 5 ）∴2B+ ∈（ ， ）∴2cos(2B+ )∈[-2,1)∴b2+c2∈(3,6] 3 3 3 3 3

3
).
【法 2】由余弦定理得 3＝b2+c2－bc，再由 b2+c2≥2bc 得 3＝b2+c2－bc≥
1 （b2+c2） 2
∴b2+c2≤6，另一方面，∵b、c 是正数，∴bc>0，∴3＝b2+c2－bc<b2+c2，故 b2+c2 的取值范 围是(3，6] 反思：对比例 2 的【法 2】与例 3 的【法 2】 ，可以发现，我们并不是用均值定理来直接下结 论 ac 最大值，或是 b2+c2 有最小值，而是利用均值定理来构造了一个不等式，这个不等式进 行等价变形求解后，可能得到关于 ac 的最大值，b2+c2 的最小值，也可能得到关于 ac 的最 小值，b2+c2 的最大值，这完全由运算决定。如果想要通过均值定理说明 ac 这种积的形式有 最大值，就必须考虑“正、定、等”三个条件，同样如果想要利用均值定理说明 b2+c2 这种 和的形式有最小值，一样必须考虑“正、定、等”三个条件。
3 2
B.
2 2
C.
1 2
D.－
1 2
练 2： （2014 赣州模拟）在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，满足 b(sinB － 2 sinC)=(a+c)(sinA－sinC)，且 AB BC 0 （1）求 A 的值； （2）若 a＝ 2 ，求 b－ 2 c 的取值范围。
1 2
【法 2】由余弦定理得：4＝a2+c2－ 2 ac≥（2－ 2 ）ac ∴ac≤2（2+ 2 ）∴S＝ ac sin B ≤ 2 +1 反思与疑问：对于学生这两道题目解答的实际来看，第一种方法是易于理解和掌握的，而且 出错的可能性更小一些，但对于用余弦定理之后的变化方向把握不好，同时，均值不等式是 学生极易出错的地方。在例 2 中，学生的疑问随之而来。 在使用 a2+c2≥2ac 或 a+c≥2 ac （a、c 为正实数）时，利用这两个不等式构造新的不 等式的方法与利用这两个不等式求最值时的“正、定、等”的理解一样吗？可不可以认为： a=c 时，a2+c2 有最小值 2ac， a+c 有最小值 2 ac ， 2ac 有最大值 a2+c2， 2 ac 有最大值 a+c 呢？为了解释这个问题，配以下例 3. 例 3：设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 A＝