《利息理论》复习提纲第一章 利息的基本概念 第一节 利息度量 一. 实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额之比，通常用字母i 来表示。

利息金额I n =A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I 1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则i n =I n /A(n-1)； 例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，（1） 如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t ，则称这样产生的利息为单利；实际利率 )()()()(1111-+=---=n i in a n a n a i n（2） 如果其在t 时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t ，则称这样产生的利息为复利。

实际利率 i i n =例题：1.1.3 三.. 实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d 来表示实际贴现率。

等价的利率i 、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,(1),1111,,,1d ii d i i d d iv d d iv v i d idi=+==-+=-==-=+例题：1.1.6 四．名义利率与名义贴现率用()m i 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。

所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m 个度量期的实际利率为()/m i m 。

与()m i 等价的实际利率i 之间的关系：()1(1/)m m i i m +=+。

名义贴现率()m d ，()1(1/)m m d d m -=-。

名义利率与名义贴现率之间的关系：()()()()m m m m i d i d m m m m-=⋅。

例题：1.1.9 五．利息强度定义利息强度（利息力）为()()()()t A t a t A t a t δ''==， 0()ts ds a t e δ⎰=。

一个常用的关系式如下：()()11[1]1(1)[1]m p m p i d i v d e m pδ---+=+==-=-=。

例题：1.1.12要求：δ,,,,)()(p m d i d i ，之间的计算。

习题：1、2、3、4、15、16、19、24。

第二节 利息问题求解一. 价值等式 例题：1.2.1 二. 投资期的确定计算利息的基本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/基础天数。

三. 未知时间问题72律：利率为i 时，使得积累值是本金的2倍所需的时间大致是72/i 。

例题：1.2.4 四. 未知利率问题 1．线性插值法2．迭代法 例题：1.2.7重点：价值等式；利用线性插值法求利率。

习题：37、40、46。

第二章 年金第一节 年金的标准型 一. 期末付年金 现值为 211nn n n v a v v vv i--=++++=终值为 221(1)11(1)(1)(1)(1)n n n n i s i i i i i--+-=+++++++++=n a 与n s 的关系：（1） (1)n n n i a s +=（2）11n ni a s =+ 例题：2.1.2、2.13 二. 期初付年金 现值为 ..22111n n n n v a v v vvd---=+++++=终值为 ..21(1)1(1)(1)(1)(1)n n nn i s i i i i d-+-=++++++++=..n a 与..n s 的关系： （1） ....(1)n n n i a s += （2）....11nnd a s =+期初付与期末付年金现值与终值之间的关系：..(1)n n a i a =+，..(1)n n s i s =+..11n n a a -=+，..11n n s s +=-例题：2.1.5 三. 永续年金（1） 期末付永续年金的现值21111lim n n n nn n a v v v v v v i i -∞∞→∞==+++++-===∑（2） 期初付永续年金..211111lim n n n nn n a v v v v v v d d ∞-∞→∞==++++++-===∑例题：2.1.6四. 年金的未知时间问题还款方式：（1） 标准式付款：按照规则的付款期进行支付（2） 上浮式还款：最后一期规则付款的额度上外加一个根据等价原则计算出来的零头 （3） 扣减式付款：最后一期规则付款的下一期支付一个根据等价原则计算出来的零头 这三种方式付款的最后零头一般都不一致。

五. 年金的未知利率问题有关年金时间的计算方法：（1） 对于n 较小的情形，求解一元n 次方程，其有效根即为利率（2） 对于n 较大的情形，可用已知的年金值以及其倒数进行展开，再利用线性插值法求未知利率的有效数值解（3） 对于n 较大的情形，利用迭代法获得任意精度的数值解，此方法最为常用 只要求（1），迭代法不要求。

例题：2.1.10习题：4、5、7、8、22。

第二节 年金的一般型一. 付款频率与计息频率不同的年金1． 付款频率低于计息频率（1） 期末付年金 年金现值为：2(1)1111(1)1(1)1n k kkkn k k kk n k kkn n kk n kv v vv v v v v v v v i i i i a s ++++--==----==⋅+-+-=年金积累值为：2(1)(1)(1)11(1)1(1)1(1)1(1)n k n k k n n k k n ki i i i i i i i i s s --+++++++-+-+==⋅-+-+=例题：2.2.3、2.2.4（2） 期初付年金年金现值为：(1)2....1111111n k kkkn k n k k k n k n n kkv v vv v v v v i i v a a a a -++++--==---=⋅-==年金积累值为：....(1)(1)(1)(1)(1(1))(1(1)1(1)1(1)11n n k kk n n k k n k n n kki i i i i i i v i i i v s s a a -+++++++-+-+==-+-+-=⋅-==（3）永续年金 其现值为211(1)11k k nk k k k kv v v v v i is ++++==-+-=2． 付款频率低于计息频率设m 为每个计息期内的付款次数，n 为计息期数，i 为每个计息期的利率，m 、n 为正整数，总付款次数为mn 次。

（1） 期末付年金假设每个付款期期末付款额为1/m ，每个计息期付款为m*(1/m)=1，这种情形下的年金现值记为()m n a ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。

()1/2/(1)/1/1/1/1/()1()1111(1)11m m mmn m n n m n m m nm n m a v v v v mv v m v vm i v i-+=++++⎛⎫-= ⎪-⎝⎭⎛⎫-=⎪+-⎝⎭-=n 时刻的年金积累值为()()()()(1)1(1)(1)1m m nn n nn m n m s a i v i ii i =+-=⋅++-=显然()()()()11n n m m m m nn v v i i aa i i i i--==⋅= ()()()()(1)(1)m n m n m m n n n n i i s i a a i s i i =+⋅=⋅+=例题：2.2.7（2） 期初付年金假设每个付款期期初付款额为1/m ，每个计息期付款为m*(1/m)=1，这种情形下的年金现值记为()..m n a ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。

()..1/2/(1)/1/1/1(1)1111m n m m mn m n m n ma v v v mv m v v d-=++++⎛⎫-= ⎪-⎝⎭-=n 时刻的年金积累值为()()....()()1(1)(1)(1)1m m n n nnnm nm vs a i i di d -=+=⋅++-=显然()....()()()11m n nn n m m m v v d d aa d d d d--==⋅= ()()........()()(1)(1)m m n n nnn nm m d d si ai a s d d=+=+⋅=例题：2.2.8永续年金的现值分别为()()1m m a i ∞=，()..()1m n m a d =二. 连续年金连续付款（付款频率无限大）的年金叫做永续年金。

连续付款n 个计息期，每个计息期的付款额之和为1的年金现值为001ln ntnntn t v v a v dt v δ=-===⎰其中t v 为时刻t 到时刻0 的折现因子。

连续年金的积累值为000(1)(1)1(1)(1)ln(1)ns n nnn t sn n s i i s a i dt i ds i δ-=++-==+=+==+⎰⎰三. 基本变化年金1. 各年付款额成等差数列关系1....11()1(1)(1)n n n n nn n n n nnn n a nv v a nvv Ia i i ia n va n v iia nv i+--+--=+=+-+-+==-=....()()(1)(1)n n nnnn n a nv Is Ia i i is n i -=+=+-=同理可得, ()nn nn n nn n a nv n nv a nv n a Da na iii---+-=-==(1)()()(1)n n nn n n i s Ds Da i i+-=+=要求计算它们的值。

2. 各年付款额成等比数列关系假设期末付款，第一次付款额为1，并且每次付款额都是前一次付款额的1+k 倍，共支付n 次，每个付款期的利率为i ，则该年金的现值为23212211(0)(1)(1)(1)[1(1)(1)(1)]1[(1)]()1(1)11()1n n n n n n V v v k v k v k v v k v k v k v k vi k v k k i i k---=+++++++=+++++++-+=≠-++-+=-四. 更一般变化年金1. 付款频率小于计息频率的情形(0)n nkka mv a V is -=2. 付款频率大于计息频率的情形（1） 每个计息期内的m 次付款额保持不变11()()()()()11()n n n n m m m m nnn m v niv v niv Ia ivi di ivia nv i++---==--= （2） 每个计息期内的m 次付款额按等差数列递增()()()()()n m nm m m n a nv I a i-=五. 连续变化年金(0)()n t V f t v dt =⎰注：四、五、部分不要求。