习題1 解答1.写出下列曲线的矢長方程，并说明它们規何种曲线。

(1)x=“cos/,y =bsinf(2)x = 3sln/,j = 4sinf,z = 3cos/解：(l)F=“cos〃+"siii{/,其图形是xOy平面上之椭圆。

(2) r = 3sinri +4sin//+ 3coszAr ,其图形是平面4x - 3j = 0 与圆柱面X2+Z2=32之交线，为一椭圆。

2.设有定圆O与动圆C ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点A/ 所描曲线的矢■方程。

解：设M点的矢径为OM ^r^xi + yj ,厶OC = 8,页7与兀轴的夹角为28—希；因OM =OC + CM^r = xi+yj = 2«cos^ + 2«sin^+acos(2&—7r)j +asin(2^—/r)j则x = 2a cos 0-a cos 28, y = 2a sin& - a sin2&・故r =(加cos&-acos2&” + (2«sin&-asin2&)</4.求曲线x = r,j = /2,z = |z3的一个切向单位矢。

2 2 , 解：曲线的矢長方程为f=ti + t j + ~( k则其切向矢長为^ = i + 2tj + 2t2k模为I —-1= J1 + 4/2 + 4严=1 + 2/2 'dtdr dr i + 2(/ + 2t 2k 于是切向单位矢長为示/ I莎'= i +2八—6・求曲线x=asin t,y=asln2t,z=acost,在心二处的一个切向矢1L4解：曲线矢星方程为r=a sin2+«sin2(/^acostkdr7 •求曲线x=t 2 +l,y=4t-3.z = 2t 2 -6t 在对应于f = 2的点M 处的切线方程和 法平面方程。

解：由题意得M (5,5,-4),曲线矢長方程为r = (r+1)/ + (4/ -3)j + (2/2-6f)忍于是法平面方程为2(x 一 5) + 2(y 一 5) + (z + 4) = 0 ,即2x + 2j + z — 16 = 08.求曲^r = ti + t 2j + ek±的这样的点，使该点的切线平行于平面x + 2y + z = 4。

平面的法矢長为n=i + 2j + k,由题知Tn=^i + 2tj + 3t 2k)\i + 2j+k) = l + 4t + 3t 2 =0习题2 解答1. 说出下列数:B 场所在的空间区域，并求出其等值面。

⑴ U = Ax + By +Cz + D (2)w = urc sin —. w+bdr在t =2的点M 处，切向矢^T = — dt4 + 4j + (4t-6)k]^2 = 4i +4j + 2k 于是切线方程为耳=罕=斗，即耳=4422y-5 z + 4 ~2 S~解：曲线切向矢呈为巧=y- = i+ 2(/ + 3/2Ar , 切向矢星为T =~^= as\n2ti + 2a cos 2tj-asintk得/=一1,-£。

将此依次代入⑴式，得故所求点为(-解：(1)场所在的空间区域是除Ar + By + Cz + D = 0外的空间。

等值面为--1--~~ =C%x + B_y + Cz + D_丄=0心0为任意常数)，这是与平Ax + By + Cz + D C[ ^Ax + By+Cz + D = 0平行的空间。

(2)场所在的空间区域是除原点以外的z2^x2 + j2的点所组成的空间部分。

等值面为才=(x2 + j2)sin2c9(x2 +j2#0),当sine工0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外)；当sinc = 0时，是除原点外的xQy平面。

2.求数星场“=斗丄经过点必(1,1,2)的等值面方程。

解：经过点M(1,1,2)等值面方程为x2+ / 12 + 12,u = --------- = --------- = 1 ,Z 2即2 = X + b ,是除去原点的旋捷抛物面。

3.巳知数畳场“ =求场中与直线x + 2j-4 = 0相切的辱值线方租。

解：设切点为(x0,j0),等值面方程为xy=c = x o y o ,因相切，则斜率为k =-— = -^ ,即心=2j0入2点(x0,j0)在所给直线上，有兀。

+2 儿一4 = 0解之得J o = l,x0 =2故xy = 24.求矢&A = xy2i + x2yj + zy2k的矢昼线方程。

解矢昱线满足的微分方程为Ax (lr = O, dx dy dz 或 2 = ~2~ = 1xy x y zy有皿=则,冬=冬・X z解之得\xl ~yl=Ci \c x ,c 2^任意常数 v=c l x5•求矢■场A = x 2i + y 2j + (x+ y)zk 通过点M (2,1,1)的矢畳线方程。

解 矢呈线满足的微分方程为笛=缪= 业 •X 2 y 2 (x + y)z故矢量线方程为£ 十5“(2M )求得―斗 jl [x-y=C 2z丄丄]故所求矢彊线方程为• x =y~2.x-y=z习題3解答1 •求数星场“ =x 2z 3 + 2y 2z 在点M (2,0,-1)处沿xy 2j +丈k 的方向导 数。

解:因l\M =(2xi-xy 2j + 3z 4/r)|w =4/ + 3A:,其方向余弦为在点M(2g)处有牛=2xz 3 = —4,^^ = 4yz = 0^—- = 3X 2Z 2 + 2y 2 = 12,dydz「所以—=—• (-4) + 0«0 + — »12 = 4 dl 5 5丄^,即空二观(x + y)z x-y•解得x — y =C 2zZCOSQ =扌,COS0 = 0,cosy =按等比定理有d(x-y)2 •求数三场w = 3x 2z-xj+z 2在点处沿曲线x=t,y = -t\z = e 朝『増 大一方的方向导数。

解：所求方向导数，等于函数"在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导教。

曲线上点M 所对应的参数为f = 1,从而在点M 处沿所取方向，曲线的切向方向导教为1 23 其方向余弦为cos “顶,COS " 一帀,COS "祜3・求数星场"=*屛在点A/（2.1.-1）处沿哪个方向的方向导数屡大?解：因—= (gradw)-/° =|grad u\cos0 , dl 当& = 0时，方向导数員大。

.du . du • du 1.=(2xyz y i + x 2z s j + 3x 2yz 2k^f =-4z-4j + 12k,即函数“沿梯度gradu|w =「Q —4/ +1%方向的方向导敌最大 晟大值为 |grad u|w | =、丽=4 JU 。

4.画出平面场“=£（宀丿2）中“=o,£,i,专,2的等值线，并画出场在M ］（2,、/J ）与点 乙 乙 乙旳2（3八厅）处的梯度矢長，看其是否符合下面事实：（1） 梯度在等值线较密处的模较大，在校稀处的模较小；（2） 在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向“增大的方向。

duI又石=⑴□一刃「= 7, M于是所求方向导数为du¥duduy=(—cosa + —.W & 勿du COS/7 + —cos/) =7X -^L + (-1)X X + 5X 2 = 41 ~ 辰 、14 、/14 <14dz.x 2 — y 2 = 0, x 2 — y 2 = 1,解：所述等值线的方程为：x 2-y 2 =l,x 2-y 1其中第一个又可以写为宀宀4,x-y = 0,x + y == 0为二直线，其余的都是以Ox 轴为实轴的等轴双曲线由图可见，其图形都符合所论之事实。

5. 用以下二法求数畳场“=弓+ W+zr 在点卩(1,2,3)处沿其矢径方向的方向导数。

(1) 直接应用方向导数公式； (2) 作为梯度在该方向上的投影。

解：(1)点P 的矢径厂=F + 2/ + 3«,其模H =、五.其方向余弦为1 c23 cosa = -^=,cos J3 = -^=,cos/ = —=.^詈广卜 + 叽=5,詈=(x + z)|p =4,^ * + 虬= 3(如下图，G 2=gradu|v/ ,)dx dy g= 5i+4j + 3k,1.2.36,求数畳场w = x 2 +2y 2 +3Z 2 +xy + 3x-2y-6z 在点0(0,0,0)与点A(l,14)处梯度的大小和方向余弦。

又问在哪些点上梯度为0?解：grad u = (2x + y+ 3) i + (4j + x-2)j + (6z -6)k,grad u|f> =3i 一 2/- 6k,grad u. =6I +3J + 0Z C ,其模依次为：y/32 +(-2)2 +(-6)2 = 7^I62 +32 +O 2 = 3頁. 3 26于是grad u\o 的方向余弦为cos a =〒cos/?= —尹cosy = —亍. 2 1 gradu|A 的方向余弦为cos a =「亍,cos 戸=市,cosy = 0.y/5 y/52x + y + 3 = 0,4y + x-2 = 0,之点，由此解得6z — 6 = 0x = -2,y = l.z = i 故所求之点为(一 2,1,1).7・通过梯度求曲面+ 2xz = 4上一点M(l,_2,3)处的法线方程。

解：所给曲面可视为数呈场u = x 2y + 2xz 的一张等值面，因此，场“在点M 处的梯度，就是曲面在该点的法矢長，即gradu|w = (2xy + 2z)i + x 2j + 2xk\ =2i + j + 2k,x — 1 V 4- 27 — 3故所求的法线方程为—-8・求数星场“ =3x 2 + 5j 2 - 2z 在点M (1,1,3)处等值面朝Oz 轴正向一方的法线方 向导数＜。

解：因 grad u = —i + —j + —k = 6xz + lOyj-2k dx dy' dzgrad u =6i + 10j-2kM梯度与z 夹角为钝角，所以沿尊值面朝。

轴正向一方的法线方向导数为dii 故寻厂映略•八％靑 di+ 4x2 + 3x 亠=豐。

<14 、14 <14求使gm 〃u = O 之点，即求坐标满足＜= — |grad i/| = —2\/?5习题41 •设S为上半球面X彳+ J，? +才=“2(z n °),求矢畳场广=灯+方+伙向上穿过S的通■①。