4习题 1 解答1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 x acost, y bsint2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。
2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面222x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。
2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚动， 所描曲线的矢量方程。
uuuur解：设 M 点的矢径为 OM rxi yj ， AOC与 x 轴的夹角为uuuur uuur ；因 OM OC uuuurCM 有r xi yj 2acosi 2asin j acos 2 asin 2则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acosacos2 )i (2asinasin2 )j4．求曲线 x t,y2,z 2t 3的一个切向单位矢量解：曲线的矢量方程为ti tdr则其切向矢量为 dt2t j模为|d d r t| 1 4t 24t 4dr 于是切向单位矢量为dt/ | d drt6．求曲线 x asin 2t,y23t 3k2t 2k2t2tj 2t 2k21 2t 2asin 2t,z acost,在 t处的一个切向矢量。
解：曲线矢量方程为 r asin2ti asin2tjacostk求动圆上一定点 Mdr asin2ti 2acos2tj asintk dt7. 求曲线 x t 2法平面方程。
解：由题意得 在 t 2 的点 dr dt t 4ai a 2k 22 1, y 4t 3,z 2t 2 6t M (5,5, 4), 曲线矢量方程为 rM 处，切向矢量 dr dt [2tit2在对应于t(t 21)i2 的点 M 处的切线方程和(4t 3)j(2t 26t)k ,4j (4t 6)k] t24i 4j 2kx5于是切线方程为4,即z4于是法平面方程为 2(x5) 2(y 5) (z 4) 0 ，即2x 2y16 0解：曲线切向矢量为dr i dt2tj 3t 2k ， ⑴平面的法矢量为 n i2j k ，由题知ni2tj 3t 2k i 2j k 1 4t 3t 2 0得 t 1,1。
将此依次代入⑴式，得31 1 1 |t 1ijk , | 1 i j kt33 9 27故所求点为1,1 1 , 1,1,13927习题 2解答3t 3k 上的这样的点，使该点的切线平行于平面1．说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
1u1 Ax By Cz D切向矢量为8．求曲线 r ti t 2 jx 2y等值面为面 Ax By Cz D 0 平行的空间。
等值面为 z 2 (x 2 y 2)sin 2 c ,(x 2当 sinc 0 时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外） ； 当 sinc 0 时，是除原点外的 xOy 平面。
222．求数量场 u x y经过点 M 1,1,2 的等值面方程。
z解：经过点 M 1,1,2 等值面方程为22即 z x 2y 2，是除去原点的旋转抛物面。
3．已知数量场 u xy ，求场中与直线 x 2y 4 0 相切的等值线方程。
解：设切点为x 0, y 0 ，等值面方程为 xy c x 0 y 0 ，因相切，则斜率为ky01，即 x 0 2y 0 x 02点x 0,y 0 在所给直线上，有x 0 2y 0 4 0解之得 y 0 1,x 0 2 故 xy 22 2 24．求矢量 A xy 2i x 2yj zy 2k 的矢量线方程。
解： 1 场所在的空间区域是除 Ax ByCz D 0 外的空间。
1C 1或Ax By CzAx By Cz D1C10（ C 1 0为任意常数） ，这是与平2 场所在的空间区域是除原点以外的z 2 x 2y 2 的点所组成的空间部分。
0)，22xy z12 121，455矢量线满足的微分方程为 dr 0，dx2或xydy 2 xy dz 2 zy有xdxdx dz ydy,xz解之得2y C1 ,(C 1, C 2为任意常数 )C 2x5. 求矢量场A x 2i y 2j(x y)zk 通过点 M (2,1,1)的矢量线方程。
解 矢量线满足的微分方程为dx 2xdy2ydz (xy)z由 dx2x 2dy 2y得1x按等比定理有d(x 2xy)2ydz (x y)z,即d(x xyy) dz.解得 x zC 2 z .故矢量线方程为C 1,又M(2,1,1)求得 C 11,C 2 2故所求矢量线方程为 1．求数量场 数。
解： 因l cos 4 ,cos 5在点 M(2,0,u4 所以l5x 2z2xi12.习题 3 解答2y 2z 在点2xy j 3z 4k0,cos1) 处有 ux2,0,4i 1 处沿l2xi 2xy j3z 4k 的方向导 3k ，其方向余弦为2xz 34, u y4yz 0, u 3x 2z 2z2y 2 12,4 ?( 4) 0?0 3 ?122．求数量场 u 3x 2z xy z 2在点 M 1, 1,1 处沿曲线 x t, y t 2,z t 3朝t增大一方的方向导数。
解：所求方向导数， 等于函数 u 在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
曲线上点1, 从而在点 M 处沿所取方向，曲线的切向方向导数为dx dt 1,d d y t 2t t1 2,d d z t3t 2t 1 3 ， t12又ux (6xz My ) M 7, u y MxM1, uz M(3x 22z) M5。
于是所求方向导数为u ( M u u u cos )71 (2324 l cos x cosyz M141)14 51414其方向余弦为 cos 14 , cos 143．求数量场 u 1 处沿哪个方向的方向导数最大？x 2yz 3在点 M 2,1,解： 因 grad u l 0grad u cos ， 当 0 时，方向导数最大。
uuugradu M ( i j k)M x y z M3 2 3 2 2(2xyz 3i x 2z 3 j 3x 2yz 2k)4i 4j 12k,即函数 u 沿梯度 grad u M 4i 4j 12k 方向的方向导数最大最大值为grad u M 176 4 11。
124. 画出平面场 u (x 22y 2）中 u 0, 1 ,1, 3,2的等值线，并画出场在22M 1(2, 2) 与点M 2（3, 7） 处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向 u 增大的方向。
M 所对应的参数为 t22xy 解：所述等值线的方程为： x 2y 222 xy 220,x 2 y 21, 2,x 2 y 23, 其中第一个又可以写为 4,(如下图 ,图中G 1grad u M 1 ,G 2 grad u M 2,) 由于 grad u xi yj,故 grad u M 12i2j, grad u M 23i7j,由图可见，其图形都符合所论之事实。
u xy yz zx 在点 P 1,2,3 处沿其矢径方向的方向导数。
1 直接应用方向导数公式；2 作为梯度在该方向上的投影。
u( ucos ucos ucos )所以 lPx yz P1 2322 。
5 14 4 1431414。
2 grad u P ( xu iu u j k ) 5i 4j 3k,xyzP123 .又 cos14,cos14 ,cos14uz)Puu(y5,(xz)P 4,xPyPz解： 1 点 P 的矢径 r i 2j 3k,其模 r 14.其方向余弦为(x y) P 3 Px y 0, x y 0 为二直线，其余的都是以5．用以下二法求数量场Ox 轴为实轴的等轴双曲线grad u O 3i 2j 6k,grad u A 6i 3j 0k,其模依次为： 32( 2)2( 6)27, 6232023 5解：所给曲面可视为数量场 u x 2y 2xz 的一张等值面，因此，场 u 在点 M 处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即grad u M (2xy 2z)i x 2 j 2xk 2i j 2k, M M114i 2 14 j314k.故 ul grad u P ?r 05 14 4 143322。
14 146 ，求数量场 u x 22y 2 3z 2 xy 3x2y6z 在点O(0,0,0)与点 A(1,1,1) 处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为？解： grad u ( 2x y 3)i (4y x2)j (6z6)k,于是grad u O 的方向余弦为 cos3 ,cos726 ,cos77grad u A 的方向余弦为 cos,cos 5,cos 0.求使 grad u 0 之点，即求坐标满足2x y 3 0,4y x 2 0, 之点，由此解得 6z 6 0x 2, y 1,z 1 故所求之点为 ( 2,1,1).7．通过梯度求曲面 x 2 y 2xz4 上一点 M (1, 2,3) 处的法线方程。
故所求的法线方程为x1 2 y 2 z 3128．求数量场 u223x 2 5y 2 2z 在点 M 1,1,3 处等值面朝 Oz 轴正向一方的法线方向导数6xi 10yj 2kgrad u 6i 10j 2kM梯度与 z 夹角为钝角，所以沿等值面朝 Oz 轴正向一方的法线方向导数为下穿出 S 的通量 。
解：略4. 求下面矢量场 A 的散度。
2) A (2z 3y)i (3x z) j (y 2x)k;1. 设 S 为上半球面 x 2 22yza 2(z 0), 求矢量场rxi yj zk向上穿过 S 的通量。
【提示：注意 S 的法矢量 n 与 r 同指向】解：r dS r n dS r dS adS a 2 a 2 2 a 3.SS SS2. 设 S 为曲面 x 2 y 2 z 2 a 2 (0 z h), 求流速场v (x y z)k 在单位时间内下 侧穿 S 的流量 Q 。
习题4 y 2)dxdy, 其中 D 为 S 在 xOy 面上的投影区域： x 2 y 2h. 用极坐标计算，有 Q (rcos Drsin r2 )rdrd2h2232 h 3h 212d (r cos r sin r 3)dr [(cos sin ) ]d h 2.0034 2D 3. 设 S 是锥面 z x 2y 2在平面 z 4的下方部分，求矢量场 A 4xzi yzj 3zk 向解：因 grad uy jgrad u2 35(x y x 2解：Q (x y z)dxdyS1) A (x 3yz)i (y 2 xz)j (z 3 xy)k;3) A (1 ysin x)i (xcosy y)j.解：(1) div A 3x2 2y 3z2(2) div A 0(3) div A ycosx xsin y 15.求div A在给定点处的值： (1) A x3i y3j z3k在点M(1,0, 1)处；(2) A 4xi 2xyj z2k在点M (1,1,3)处；(3) A xyzr (r xi yj zk)在点M(1,3,2)处；解：(1) div A M(3x23y23z2)M6(2)div A M(4 2x 2z)M8(3)div A xyzdiv r grad (xyz) r 3xyz (yzi xzj xyk) (xi yj zk)6xyz，故div A M6xyz M36。