1993 年 12 月教育部（前国家教委）高教司正式发文，要求在全国普通高校 中陆续开展电子设计、数学建模、机械设计和结构设计竞赛，并且于 1994 年 3 月成立了由教育部高教司和 CSIAM 成员共同组成的第一届全国大学生数学建模 竞赛组委会，于是从 1994 年开始，CUMCM 成为教育部高教司和中国工业与应 用数学学会共同主办、每年一届、面向全国高等院校学生的一项课外科技竞赛活 动。
D+ 0.9905 1.0147 0.3520 0.5246 0.9351 0.9439
D0.4800 0.2396 0.9502 0.6167 0.4261 0.5102
Ci 0.3264 0.1910 0.7297 0.5403 0.3131 0.3509
排名 4 6 1 2 5 3
从表 3.4—2 中可以很明显地看到，该校 2006—2011 年每年数学建模工作的 取得的成果，其中，2008 年取得的成绩最优，2009 年次之，2007 年取得的成绩 最差。在这六年中，前期成绩较差，中期成绩很好，到了后期大幅下滑后又有回 升，建议该校应加大对学生数学建模活动的支持力度，鼓励学生积极参与。
2010
0
0.2667 0.1667 0.2333 0.2000 30
2011
0
0.2667 0.2333 0.2667 0.1333 30
求得获奖率后，就能排除各年度参赛队数不一致带来的影响，从而能够较好 地反映当年该校学生数学建模的整体水平。
3.3 Topsis 综合评价法的引入
Topsis 方法（Technique for order preference by similarity to ideal solution）是 有限方案多目标决策分析的一种常用方法，可用于效益评价、卫生决策和卫生事 业管理等多个领域。本法对资料无特殊要求，使用灵活简便，应用广泛。
对于问题三，需要对自数学建模竞赛活动开展以来全国各高校的建模成绩进 行合理的排序，鉴于所给的建模成绩原始数据量非常冗杂庞大，故从中抽取 2005 年和 2007—2010 年的数据作为样本进行分析，求得本科组 632 所高校和专科组 435 所高校这五年中每年获得国家一等奖和国家二等奖的个数，然后根据第二问 的设定线性加权得到成绩指数，从而对各高校建模成绩进行排名。
0.4472
0.3298
0.4005 0.4808 0.4555
2010
0
0.5277
0.4005 0.3739 0.3904
2011
0
0.5277
0.5607 0.4274 0.2603
由表 3.4—1 可得出，最优方案 Z+和最劣方案 Z-分别为：
Z + = (0.8944, 0.5277, 0.5607, 0.5342, 0.5442)
3.5 成绩预测模型的建立与求解
如表 3.2—1 所示，可以看到该校 2006—2011 年每年各个奖项的获奖率，因 而，分别针对每个奖项的获奖率作时间轴上的分析，利用灰色预测法求出其内在 联系，从而对该校十二五期间数学建模的成绩作出较为准确的预测。
下面以该校十二五期间省一等奖的获奖率预测为例进行分析说明，省一等奖 获奖率的灰色预测 MATLAB 程序如下：
对于问题二，需要对 2007—2011 年期间吉林省各高校的建模成绩进行合理 的排序且预测十二五的建模成绩。排序模型采用线性加权法排序，先统计出吉林 省各高校的获奖数，设定成绩指数=5*国家一等奖个数+4*国家二等奖个数 3*省 一等奖个数+2*省二等奖个数+省三等奖个数（该奖项没有出现的情况下默认为 0 个），求出各高校成绩指数后得出排序结果。成绩预测模型中，设定获奖率指数 =3*省一等奖获奖率+2*省二等奖获奖率+省三等奖获奖率，分别采用灰色预测 法、对数曲线拟合法、移动平均法进行建模分析，最后对比三种不同结果，确定 了移动平均法是最佳方案，能够较为准确合理地预测成绩。
（1）指标属性趋同化处理 可将低优指标和中性指标全转化为高优指标 xi'j ，方法是：
xi'j = ⎧⎪⎪⎨1xijxij ⎪ ⎪⎩M ⎡⎣M + xij − M ⎤⎦
（2）趋同化的数据归一化
高优指标 低优指标 中性指标
⎧
⎪
⎪
Zij
=
⎪⎪ ⎨
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
xij
( ) ∑n
2
xij
i=1
xi'j
∑( )x n
省二 等奖
省三 等奖
参赛 队数
2006
0
0.1111 0.1111 0.3333 0.2778 18
2007
0
0.1818 0.1818 0.0909 0.1818 22
2008 0.0667 0.2000 0.1333 0.2333 0.2000 30
2009 0.0333 0.1667 0.1667 0.3000 0.2333 30
最后对本文所建立的模型及使用的方法的优缺点进行了相关的讨论，并分析 了在其他情况下的推广应用问题。
关键词：Topsis 灰色预测 线性加权 移动平均法 建模成绩评价预测
1 问题重述
1.1 问题背景
数学建模竞赛（Mathematical Contest in Modeling，缩写为 MCM）于 1985 年最先出现于美国，1989 年我国大学生开始参加美国大学生数学建模竞赛，1990 年 10 月中国工业与应用数学学会（CSIAM）成立，CSIAM 下属的数学模型专业 委员会开始考虑创办我国自己的大学生数学建模竞赛。
Z − = (0, 0.2199, 0.2670, 0.1457, 0.2603)
计算每一个评价对象与 Z+和 Z-的距离 D+i 和 D-i，求出各评价对象与最优方 案的接近程度 Ci，按 Ci 大小排序，给出评价结果如下表 3.4—2 所示：
表 3.4—2 D 距离表和排序
年份 2006 2007 2008 2009 2010 2011
2 模型假设和符号系统
2.1 模型假设
针对本问题，建立以下合理假设： （1）题目提供的数据真实准确可靠； （2）假设每年的建模试题难度大致相同； （3）假设每年参加比赛的学生的学习力都差不多； （4）不考虑意外偶然或其它反常的情况； （5）设定成绩指数=5*国家一等奖个数+4*国家二等奖个数 3*省一等奖个数+2* 省二等奖个数+省三等奖个数（该奖项没有出现的情况下默认为 0 个）； （6）设定获奖率指数=3*省一等奖获奖率+2*省二等奖获奖率+省三等奖获奖率。
本方法的基本思想是：基于归一化后的原始数据矩阵，采用余弦法找出有限 方案中的最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示 ），然后分别计 算各评价对象与最优方案和最劣方案间的距离，获得各评价对象与最优方案的相 对接近程度，以此作为评价优劣的依据。
基本步骤： 设有 n 个评价对象，m 个评价指标，原有数据形式为：
题目：基于 Topsis、灰色预测和移动平均法的
数学建模竞赛成绩的评价与预测问题的研究
【摘要】
近 20 年来，CUMCM 的规模平均每年以 20％以上的增长速度健康发展，是 目前全国高校中规模最大的课外科技活动之一。本文对数学建模竞赛成绩的评价 与预测问题进行了建模、求解和相关分析。
对于问题一，已知某高校 2006-2011 年数学建模成绩，需要建立模型对该校 数学建模工作开展情况进行合理的评价。首先将源数据获奖个数转换为获奖率确 立统一公平的评判标准，由此就避免了每年参赛队数不同带来的影响。然后利用 Topsis 综合评价法建立评价模型，得出结果并对该校 2006—2011 年的建模工作 开展情况作出评价，同时运用灰色预测的方法针对获奖率作时间轴上的分析，预 测十二五期间该校数模竞赛成绩。
（5）计算各评价对象与最优方案的接近程度 Ci
Ci
=
Di− Di+ + Di−
,0
≤
Ci
≤ 1,Ci
→ 1,表明评价对象越优
（6）按 Ci 大小排序，给出评价结果
3.4 评价模型的建立与求解
如表 3.2—1 所示，运用 Topsis 方法将各项数据归一化，得出转换指标归一 化的 Z 矩阵如下表 3.4—1 所示：
'2
ij
i=1
(原高优指标 ) (原低优指标或中性指标)
由此得到归一化后的矩阵：
⎡ z11 z12 ⋯ z1m ⎤
Z
=
⎢ ⎢
z21
⎢⋯
z22 ⋯
⋯ ⋯
z2m
⎥ ⎥
⋯⎥
⎢ ⎣
zn1
zn2Biblioteka ⋯znm⎥ ⎦
（3）确定最优方案和最劣方案 最优方案 Z+由矩阵 Z 中每列中的最大值构成：
Z + = (max Zi1, max Zi2 ,⋯, max Zim )
最劣方案 Z-由矩阵 Z 中每列中的最小值构成：
Z − = (min Zi1, min Zi2,⋯, min Zim )
（4）计算每一个评价对象与 Z+和 Z-的距离 D+i 和 D-i
∑( ) ∑( ) Di+ =
m
2
max Zij − Zij
， Di− =
m
2
min Zij − Zij
i=1
i =1
在数学建模活动开展 20 周年之际，有必要对以往的数学建模工作进行总结 及对未来的发展进行预测。
1.2 待解决的问题
利用附件所给的数据，完成下列问题： （1）已知某高校 2006-2011 年数学建模成绩，建立合理的评价模型，对该 校十一五期间数学建模工作进行评价，并对该校十二五期间的数学建模成绩进行 预测； （2）建立适当模型对吉林省十一五期间各高校建模成绩的进行科学、合理 的排序，并建立模型预测吉林省各高校十二五期间的建模成绩； （3）建立排序模型，给出全国各院校的自建模竞赛活动开展以来 建模成绩 的科学、合理的排序； （4）建立成绩预测模型，预测全国各高校十二五期间的建模成绩； （5）除全国竞赛成绩、赛区成绩外，要对建模成绩进行科学、合理地评价 和预测，还需要考虑哪些因素？