函数单调性一． 填空题 1. 函数()12x f x x -=+的单调递增区间是__________________. 2. 函数()232f x x x =-+的单调递减区间是__________________.3. 函数()2f x x ax =+在()1,-+∞是增函数，那么a 的取值范围是__________.4. 函数()f x 在R 上是增函数，()g x 在R 上是减函数，那么()()f x g x -在R 上是_________.5. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数，（1）若()f x 在R 上是偶函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________；（2）若()f x 在R 上是奇函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________.6. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是________.7. 已知()()()()23411a x a x f x xx --<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是R 上增函数，那么a 的取值范围是______.8. 函数()12||1f x x =+-的递增区间是______________.9. 若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为____________.10. 定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞上是减函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x =，那么，那么()1f -_________()3f .(填,,>=<) 11. 已知函数()f x =[]0,1是减函数，则a 的取值范围是____________.12. 设()f x 是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 .二． 选择题13. 下列函数在(),0-∞上为增函数的是------------------------------------------------（ ）A . ()12y x =- B . ()21y x =-+ C . 1xy x=- D . 21y x =+ 14. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞是增函数，则不等式()()f a f b <等价于（ ）A .a b <B . a b >C . a b <D . 0a b ≤<或0a b >≥15. 如果奇函数()f x 在区间[]3,7 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]7,3--上是---------------------------------------------------------------------------------------------- ( )A .增函数且最小值是5-B .增函数且最大值是5-C .减函数且最大值是5-D .减函数且最小值是5-16. 函数()f x =--------------------------------------------------------------------------（ ）A .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增B .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减C .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递增D .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递减三． 解答题17. 试讨论函数()f x =在区间[]1,1-上的单调性．18. 已知函数()()211f x x =-（1） 用单调性定义证明：()f x 在(（2） 作出函数()f x 的大致图象.19. 已知函数()()20x af x a x+=>在()2,+∞上递增，求实数a 的取值范围.20. 已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0f x >，()21f = （1）求证：()f x 是偶函数； （2）()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21)2f x -<．函数单调性(答案)一. 填空题 1. 函数()12x f x x -=+的单调递增区间是__________________.()(),2,2,-∞--+∞ 2. 函数()232f x x x =-+的单调递减区间是__________________.(]3,1,,22⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦3. 函数()2f x x ax =+在()1,-+∞是增函数，那么a 的取值范围是__________.[)2,+∞4. 函数()f x 在R 上是增函数，()g x 在R 上是减函数，那么()()f x g x -在R 上是_________. 增函数5. 函数()f x 在()0,+∞上是增函数，（1）若()f x 在R 上是偶函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________；（2）若()f x 在R 上是奇函数，那么()f x 在(),0-∞上是_________.减函数 增函数6. 设奇函数)(x f 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，)(x f 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是________.()(]2,02,5-7. 已知()()()()23411a x a x f x xx --<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是R 上增函数，那么a 的取值范围是______.2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭8. 函数()12||1f x x =+-的递增区间是______________.()(),1,1,0-∞--9. 若()f x 为奇函数，且在(,0)-∞上是减函数，又(2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为____________. ()(),22,-∞-+∞10. 定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞上是减函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x =，那么，那么()1f -_________()3f .(填,,>=<) > 11. 已知函数()f x =[]0,1是减函数，则a 的取值范围是____________.02a <≤12. 设()f x 是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为 .[)3,+∞二. 选择题13. 下列函数在(),0-∞上为增函数的是------------------------------------------------（ C ）A . ()12y x =- B . ()21y x =-+ C . 1xy x=- D . 21y x =+ 14. 定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞是增函数，则不等式()()f a f b <等价于（C ）A .a b <B . a b >C . a b <D . 0a b ≤<或0a b >≥15. 如果奇函数()f x 在区间[]3,7 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]7,3--上是---------------------------------------------------------------------------------------------- ( A )A .增函数且最小值是5-B .增函数且最大值是5-C .减函数且最大值是5-D .减函数且最小值是5-16. 函数()f x =--------------------------------------------------------------------------（ B ）A .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增B .是偶函数，且在区间(),0-∞上单调递减C .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递增D .是奇函数，且在区间()0,+∞上单调递减三. 解答题17. 试讨论函数()f x =在区间[]1,1-上的单调性．.解： 设[]12,1,1x x ∈-，且12x x <．()()12f x f x -=2211x x ---==∵ x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴ 当210x x >>时，120x x +>，那么()()12f x f x >．当210x x >>时，120x x +<，那么()()12f x f x <．故()f x =[]1,0-上是增函数，在区间[]0,1上是减函数．18. 已知函数()()211f x x =-（3） 用单调性定义证明：()f x 在(-∞（4） 作出函数()f x 的大致图象. 解：（1）设121x x <<， ()()12f x f x -=所以()f x 在(),1-∞上为增函数19. 已知函数()()20x af x a x+=>在()2,+∞上递增，求实数a 的取值范围.解：设122x x <<，由()()()()221221121212121212120x a x a x x x x af x f x x x a x x x x x x x x ++---=-=-+=-<恒成立．即当122x x <<时，12x x a >恒成立．又124x x >，所以04a <≤．20. 已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0f x >，()21f = （1）求证：()f x 是偶函数； （2）()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21)2f x -<．解：（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，令121x x ==-，得∴(1)0f -=，∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数． （2）设210x x >>，则221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅-221111()()()()x x f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴211x x >，∴21()xf x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．（3）(2)1f = ，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，∵()f x 是偶函数∴不等式2(21)2f x -<可化为2(|21|)(4)f x f -<，又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2|21|4x -<，解得：x <<，即不等式的解集为⎛ ⎝⎭．。