2．3．1 函数的单调性·例题解析
【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝|x 2＋2x －3|
(2)y (3)y ＝
＝x x x x x 2221123
-----+||
解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．
先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示．
由图像易得：
递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]
(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解 当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ． 当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞)
(3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．
令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x ∈[－1，1]
上是
．
而＝在≥上是增函数．y u 0u
∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．
【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范
围．
解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．
当≠时，对称轴＝
，若＞时，由＞≤，得＜≤．
a 0x a 0a 0 3a 10a 131
212a a
a
--⎧⎨⎪
⎩⎪ 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1．
【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：
(1)f(6)与f(4)
(2)f(2)f(15)与
解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)
(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15
时为减函数．
∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)
【例4】判断函数＝
≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax
x 21
-
解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2．
∵－＝
∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()
()()
()()()()122112221212
122112
2
2111111+---+---
当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．
【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．
∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0
2112221212
121212221221212121222证法一
又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1) 故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
证法二()x x x x (x x )x x x x 0x x 0x 0x 0x x x x x x 0121222122
221
2
2122112
12
1222∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．
1234121
2
得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
证法三()t x x x x x 4x 3x 00x 0x 0t x 03x 0t 0x x x x 0f(x )f(x )f(x)(22121212121
2
12221
2
22121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，
＋∞上是减函数．)
【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1
x
解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2．
∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )
x x x x 012121112x x 22
1
∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．
当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．
根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致
画出＝＋的图像如图．－．y x 2321
x
说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．
2°注意对参数的讨论(如例4)．
3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)
4°例6是分层讨论，要逐步培养．
例题：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。

解：在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0，可得f(0)=0，
取y=-x，可得f(x)=-f(-x)，即函数f(x)是奇函数，
在f(x)的定义域R内任取x1，x2，使x1<x2，即x1-x2<0
则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0，
故f(x)在定义域R内是单调递增函数，
因为f(1)=2，所以f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6，f(-3)=-f(3)=-6，
因为f(x)在定义域R内是单调递增函数，故
当-3≤x≤3，求f(x)的最大值为6，最小值-6
证明函数单调性一般用的是定义法证明,
例:证明f(x)=x^m-2/x在(0,正无穷)的单调性
解:设:x1,x2属于(0,正无穷) 且x2>x1
f(x1)-f(x2)=x1-2/x1-x2+2/x2
=(x1-x2)-2/x1+2/x2
=(x1-x2)-2x2+2x1/x1x2
=(x1x2+2)(x1-x2)/x1x2
∵x2>x1
∴x1x2+2>0
x1-x2>0
x1x2>0
∴f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(0,正无穷)上为增函数
奇偶性分为奇函数和偶函数
奇函数只需证明f(-x)=-f(x)
偶函数只需证明f(-x)=f(x)
(切记:在判断奇偶性之前要先看定义域,如果定义域关于y轴对称,那么就是奇函数,带入即可算出,如果关于原点对称,那么就是偶函数,带入即可算出,)。