平面向量与三角函数教案1第十讲 平面向量及其应用例1:△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA→＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝ （ ） 例题 2.如图，在直角梯形ABCD 中，,1,3AB AD AD DC AB ⊥===，动点P 在BCD ∆内运动，（含边界）， 设(),AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r，则αβ+的取值范围是 .例3.设P 是ABC ∆内一点，满足()()()21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r.则x 的取值范围是 ..已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB=u u u r u u u r，AQ qQC=u u u r u u u r ，则（ⅰ）pq p q=+ ， （ⅱ）12SS 的取值范围是 .例1. 在ABCV 中，60,3,B AC ∠=o 则2AB BC+的最大值为_________．例2. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是_________．例3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ，b ，c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b cc b+的取值范围是____________．例4. 在等边ABC V 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=uuu r uu u r若,CP AB PA PB ⋅=⋅uu r uu u r uu r uu r则实数λ的值是_________．例5. 在ABC V 中有如下结论：“若点M 为ABC V 的重心，则0MAMB MC ++=uuu r uuu r uuu r r”，设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB ++=uuu r uuu r uuur r ，则内角A 的大小为_________；若a ＝3，则ABC V 的面积为_________．例6. 点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若AO xAB y AC=+uuu r uu u r uuu r ，x + 2y = 1，则cos B = _________．例7. 如图，平面内有三个向量,,，其中OA u u u r 与OB u u u r的夹角为120°，OA u u u r与OC u u u r 的夹角为150°，且1OA OB ==u u u r u u u r ，23OC =u u u r若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r，，则λμ+的值为_________．A OB xy1 235.0- 3-例8. 在□ABCD 中，AB = 5，AD = 4，点P 在△BCD 内（包括周界），设AP xAB y AD=+uu u r uu u r uuu r ，则一切点（x ，y ）形成区域的面积为_________．例9. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，3BC BD=uu u r uu u r ，||AD uuu r = 1，则AC AD⋅uuu r uuu r= _________．例10. 在△ABC 中，已知AB = 3，O 为△ABC 的外心，且OABC ⋅uu r uu u r= 1，则AC = ________． 例11. 已知平面上三点,,A B C ，满足||2,||3AB BC ==u u u r u u u r，||4,CA =u u r则23_________.AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r例12. 直线l 与函数sin ([0,])y x x π=∈PDCBA的图像相切于点A ，切//l OP ，O 为坐标原点，P 为图像的极值点，l 于x 轴交于B 点，过切点A 做x 轴的垂线，垂足为C ，则________BA BC ⋅=u u u r u u u r例13. 在ABC ∆中，满足：AB AC⊥u u u r u u u r ，M 是BC 中点（1）若||||AB AC =u u u r u u u r ，求向量2AB AC+u u u r u u u r 与向量2AB AC+u u u r u u u r 的夹角的余弦值；（2）若O 是线段AM 上任意一点，且||||2AB AC ==u u u r u u u rOA OB OC OA+u u u r u u u r u u u r u u u r g g 的最小值；（3）若点P 是BC 边上的一点，且22AP AC AP AB ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，||2AP =uuu r ，求||AB AC AP ++u u u r u u u r u u u r的最小值.13.如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值.参考答案： 1.解析：2222|5a b |=(5a b)=25a 10a b +b---⋅r r r r r r r r ，2212511013()3492⨯-⨯⨯⨯-+=，故|5a b |7-=r r .2.解析：a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），∴a ＋b ＝（1，m －1），又（a ＋b ）∥c ，∴2＋m －1＝0，∴m ＝－1.3.解析：以O 为原点，OC ，OB 所在的直线为x 轴和y轴建立如图所示的坐标系.由OA=2，0120=∠AOx ，所以()(),31-A ,120sin 2,120cos 200，即A ，易求()()3,0C 1-0B ，，，设 ()()().31-λ3-λλ-3λ31-3,0λ1-0λ31-,λλOA 21122121⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==+=+=，，，，即OC OBcb a 313--=.4.解析：设向量与的夹角θ，有cosθ=ba •=2222)2(221)2(221-++-⨯+⨯=－1010∴在方向上的投影=｜｜cosθ=5×（－1010）=－22 5.解析：令c a bλμ=+r r r，则(6,5)(2,4)(1,3)λμ=-+-.(6,5)(2,43)λμλμ=--+，∴26435λμλμ-=⎧⎨-+=⎩，∴23217λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴23212171522p a b a b a b=+--=--u r r r r r rr .6.解析：由题意，1a b ==r r，且ar 与br 的夹角为0120，所以，01cos1202a b a b ⋅==-r r r r ，2c c c =⋅=r r rQ (2)(2)a b a b -⋅-r r r r 22447a ab b =-⋅+=r r r r ， 7c ∴=r13d ∴=r.而c d ⋅=r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a -⋅-=⋅--=-r r r r r r r r ，设θ为cr与dr 的夹角，则.7.解析：设点D 的坐标为（x ，y ），∵AD 是边BC 上的高，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥BC又∵C 、B 、D 三点共线，∴BC ∥BD 又AD =（x －2，y －1），BC=（－6，－3），BD =（x －3，y －2）∴⎩⎨⎧=-+--=----0)3(3)2(60)1(3)2(6x y y x 解方程组，得x =59，y =57 ∴点D 的坐标为（59，57），AD 的坐标为（－51，52）.8.解析：不妨设(,)C m n =u r，则()1,2,(3,1)a c m n ab +=+++=-r r r r，对于()//c a b+r r r ，则有3(1)2(2)m n -+=+；又()c a b⊥+r r r ，则有30m n -=，则有77,93m n =-=-9.解析：所求五个力的合力为→+→+→+→+→PEPD PC PB PA ，如图所示，以PA 、PE 为边作平行四边形PAOE ，则→+→=→PEPA PO ，由正六边形的性质可知b|PA ||PO |=→=→，且O 点在PC 上，以PB 、PD 为边作平行四边形PBFD ，则→+→=→PDPB PF ，由正六边形的性质可知b3|PF |=→，且F 点在PC的延长线上.由正六边形的性质还可求得b2|PC |=→故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b 6b 3b 2b =++，方向与→PC的方向相同.10.解析：＝－＝（2 e 1－e 2）－（e 1＋3e 2）＝e 1－4e 2，∵A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使＝λBD ，∴2 e 1＋ke 2＝λ（e 1－4e 2）于是可得⎩⎨⎧-==λλ42k ，解得k ＝－8. 11.证明：设＝a ，＝b ，＝c ，则＝c －b ，＝a －c ，＝b －a .∵||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2 ∴a 2＋（c －b ）2＝b 2＋（a －c ）2＝c 2＋（b－a ）2即c ·b ＝a ·c ＝b ·a ，故·OC ＝（b －a ）·c ＝b ·c－a ·c ＝0.·＝（c －b ）·a ＝c ·a －b ·a ＝0，∴⊥，⊥，∴点O 是△ABC 的垂心.12.解析：设AB a=u u u r r，AC b=u u u r r，1AP aλ=u u u r r ，2AQ bλ=u u u r r ，因为G 是△ABC的重心，故1()3AG a b =+u u u r r r，又111()33PG AG AP a bλ=-=-+u u u r u u u r u u u r r r ，21PQ AQ AP b aλλ=-=-u u u r u u u r u u u r r r ，因为PGuuu r与PQuuu r 共线，所以PQ PGλ=u u u r u u u r ，即11211[()]()033a b λλλλλ-++-=r r r ，又a r与br 不共线，所以111()3λλλ-=-及213λλ=，消去λ，得12123λλλλ+=.（ⅰ）121111(1)(1)321p q λλ+=-+-=-=，故1pq p q=+； （ⅱ）12111()313λλλλ=≠-，那么12||||sin ||||sin S AP AQ BAC SAB AC BAC⋅⋅∠=⋅⋅∠2112211113931()24λλλλλ===---+，寒假课程·高一数学10 当P 与B 重合时，11λ=，当P 位于AB 中点时，112λ=，故11[,1]2λ∈， 故12S S41[,].92∈但因为P 与B 不能重合，故12S S 41[,).92∈13.解析：,0.AB AC AB AC ⊥∴⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r Q ,,,()()AP AQ BP AP AB CQ AQ AC BP CQ AP AB AQ AC =-=-=-∴⋅=-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.0.,)(0,1cos 其最大值为最大时方向相同与即故当CQ BP BC PQ ⋅==θθ。