命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：概率论与数理统计（II ）期末考试样卷2参考答案注意：所有数据结果保留小数点后两位，本试卷可能用的数据如下：20.9750.9750.02520.9750.9750.95(1.5)0.933, 1.96,(24) 2.064,(2.10)0.98,(24)12.40,(24)39.36,(10) 2.23,(2,21) 3.47,U t t F χχΦ===Φ=====一、填空题( 每小题3分，共24分)1． 在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则样本均值x 落在4与6之间的概率为 0.87 .2. 设1234,,,X X X X 是取自正态总体~(0,4)X N 的简单随机样本且()()221234234Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从2χ分布。

3．设161,,x x 是来自(8,4)N 的样本，则(1)(5)P x >= 16(0.933) . 4．设1,,n X X 为来自(0,)(0)U θθ>的一个样本，11,ni ni X X ==∑则未知参数θ的矩估计量是 2X ，最大似然估计是 1max(,,)n X X .5．设总体分布为()P λ，则其费希尔信息量为 1λ .6．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本，欲使1ˆni i c X X σ==-∑为σ的无偏估计，则常数 c 7．由来自正态总体2~(,0.9),X N μ容量为9的简单随机样本，若得到样本均值0.5X =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为 [-0.088,1.088] 。

8．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本,22111()ni n i S X X -==-∑,其中参数2,μσ未知，要检验假设2200:H σσ=应用 2χ 检验法，检验的统计量是2201n S σ-（） 。

二、单项选择题（每小题2分，共8分）1. 设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本，其中μ已知而2σ未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（ C ）。

()(){}22211111.;.;.;.min nnni i i i i ni i i X A X B X X C D X n μσ≤≤===⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑∑∑ 2. 设18,,X X 和110,,Y Y 分别来自两个正态总体()21,2N -和(2,5)N 的样本，且相互独立，2212,S S 分别为两个样本的样本方差，则服从(7,9)F 的统计量是（B ）。

2222111122222222545.;.;.;..452S S S S A B C D S S S S 3. 设总体X 服从正态分布),(2σμN ，其中μ为未知参数，2σ已知，12,n X （X ，X ，）为取自总体的样本，记11nini X X==∑，则0.950.95u X u + （X － 作为 μ的置信区间，其置信度为 （ B ）A. 0.95B. 0.90C. 0.975D. 0.054. 在假设检验中，记1H 为备择假设，则称（B ）为犯第一类错误。

A ．1H 真，接受1H ；B ．1H 不真，接受1H ；C ．1H 真，拒绝1H ；D ．1H 不真，拒绝1H 。

命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：三、计算题（共20分）1（8分） 设1,,n X X 为来自总体()~X E x pλ，试求最小次序统计量(1)X 的均值与方差。

解：由()~X E x p λ，可知，X 的密度函数为(,),0x p x e x λλλ-=≥，分布函数(,)1,0xF x ex λλ-=-≥，令Y X =(1)，则Y 的密度函数为11()[1()]()[],0n y n yn yY X P y n F y P y n e en ey λλλλλ-----=-==≥，故22222212(1)(1)()0222211(1)()()()(),()()()()[()](n yn y n n n n n E X E Y yn e dyE X E Y y n e dy Var X E Y E Y λλλλλλλλλ∞∞--=======-=-=⎰⎰2（6分）设总体X 具有分布律：其中为未知参数。

已知取得了样本值，试求的最大似然估计值。

解： 似然函数为：对数似然函数为：令解得的最大似然估计值为3（6分） 生产一个零件所需时间(单位：秒)2~(,)X N μσ,观察25个零件的生产时间得5.5, 1.73x s ==. 试求μ和2σ的95%置信区间。

解：依题意：10.95α-=，故0.05α=，从而μ的95%置信区间为：20.9751( 5.5 5.50.714[4.79.16,6.21]x t n t α-±-=±=±= 2σ的95%置信区间为：222222221(1)(1)24 1.7324 1.73[,][,[1.82,5.79](1)(1)39.3612.42n S n S n n ααχχ---⨯⨯==--四、应用题（每小题8分，共24分）1（8分） 从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:甲厂140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙厂 135 , 140 , 142 , 136 , 138 , 140设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,试显著性水平0.05α=下判断两个工厂生产的蓄电池的容量均值是否相等。

解：(1)用X 表示甲厂蓄电池的容量，用Y 表示乙厂蓄电池的容量，由假定，2212(,),(,)X N Y N μσμσ ，要检验的假设是：012112:,:HH μμμμ=≠则140.5,138.5x y ==，()()66221137.5,35.5i i i i x x y y ==-=-=∑∑2.70w S ===1.28x yt ===，由0.975(10) 2.23t t <=，不能拒绝原假设，即两个工厂生产的蓄电池的容量均值是相等的。

2. 一支香烟中的尼古丁含量X 服从正态 分布N (μ,1)，质量标准μ 规定不能超过1.5毫克。

现从某厂生产的香烟中随机抽取20支测 得其中平均每支香烟的尼古丁含量为 1.97x =毫克 。

（I ）试给出检验的p 值；（II ）问在0.05α=下该厂生产的香烟尼古丁含量是否符命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：合质量标准的规定？解（I ）: 01: 1.5,: 1.5H H μμ≤>,取统计量X U =(( 2.10)1(2.10)10.980.02P U P U ≥=≥=-Φ=-=（II ）由0.050.02p α=>=，因此，在显著性水平0.05α=下，拒绝0H ，即该厂生产的香烟尼古丁含量不符合质量标准的规定3. 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A 1是以鱼粉为主的饲料，A 2是以槐树粉为主的饲料，A 3是以苜蓿粉为主的饲料。

为比较三种饲料的效果，特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。

试验结果如下表所示：假定鸡的重量服从正态分布，且方差相等，试在0.05α=水平下检验这三种饲料对鸡的增肥作用有无显著差异；解：22222113350517711331248241119136337876.04,23,9660.08,2r mrT T T ij T A i A n m n i j i S y f S T f ====-=-===-=-==∑∑∑ 28215.96,21e T A e S S S f =-==，则，4830.043.591343.62A A e e S f F S f ===，在显著性水平0.05α=下，0.95(2,21) 3.47F =，故拒绝域为{ 3.47}W F =≥，由于 3.59 3.47F =>，故认为三种饲料对鸡的增肥作用有显著差异。

五、综合题（每小题12分，共24分）1. 设1,,n X X 为来自总体X 的一个样本，X 的密度函数为(),(,).0,x e x p x θθθ--⎧≥=⎨⎩其他（1） 试证，θ的最大似然估计为(1)X ；（2）试证，(1)X 不是θ的无偏估计，但(1)1X n-是θ的无偏估计；（3）试求(1)X 的方差()(1)Var X。

解：(１）11(,,)n n X x X x == 的联合密度函数为：1()()1(1)1(,,;){}ni i i nx x n i L x x eeI x θθθθ=----=∑==≥∏ ，要使L 最大，显然，θ必达到最大，故θ的最大似然估计为(1)X 。

(2)令Y X =(1)，则Y 的密度函数为()1()()()[][],y n y y n Y P y n een e y θθθθ-------==≥()1(1)()()[],y n E X E Y yn e dy θθθ∞--===+⎰故(1)1X n-是θ的无偏估计。

(2)2222()222(1)()()[]y n n n E X E Y y n e dy θθθθ∞--===++⎰，2221(1)()()[()]n Var X E Y E Y =-=2．设12,,,n x x x 是来自均匀总体2(,)N μσ的样本，命题人或命题小组负责人签名： 教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：（1） 试求2,μσ 的矩估计； （2） 证明()221111,1n n i ii i x x s x x n n ====--∑∑分别为2,μσ的UMVUE .解：(１）11(,,)n n X x X x == 的联合密度函数为：2()22211(,,;,))x i nn i L x x eμσμσ-=-=∏ ，2222221()2ln (,)ln 2ln i nnn i x L μσμσπσ=-=-+--∑，令222ln (,)ln (,)0,0L L μσμσμσ∂∂∂∂==，可得 2,μσ 的最大似然估计分别为221111ˆˆ,()nniinni i XX XX μσ=====-∑∑ (２)，因为2(,)X S 为2(,)μσ的充分统计量，且22(),()E X E S μσ==，故2(,)X S 为2(,)μσ的UMVUE .。