3、有限单元法 可看作广义坐标法的一种特殊应用。把体系的离散 化和单元的广义坐标二者结合起来，就构成了有限单元 的概念。具体做法详见弹性连杆机构动力学的相关章节。
式中：
第二章 机械系统运动微分方程的建立
为第i个质点的质量，
为第i质点到转动中心c的距离。
三、基本动力元件与特性 1、质量和转动惯量 构件的质量是构件惯性的一种度量，可用符号m表示，
2 x 1 ) Fd c( x
c为粘性阻尼系数或线性阻尼系数
第二章 机械系统运动微分方程的建立
2-2机械系统动力学模型的建立 力学模型 突出其动力学问题的本质特征，用简单的图形和符号表 示的,用以代替实际动力学问题，反映实际问题动力学特征的 简单图形，称机械系统的动力学计算简图，又称力学模型。 建立机械系统的动力学计算简图，必须对机械系统进行简化 简化原则
第二章 机械系统运动微分方程的建立
多由度系统：
图2-2 多自由度质量弹簧系统
连续系统：
图2-3 两个自由度机械手
图2-4 梁的纵向振动和横向振动
第二章 机械系统运动微分方程的建立
二、动力自由度的确定 工程实际中的构件为三维空间的几何体，质量连续分布具有 无穷多个自由度。 主要简化方法：集中质量法、广义坐标法和有限单元法等。 1.集中质量法 集中质量法是一种常用的将连续系统离散为有限个自由 度系统的简化方法，又称集中参数法。它把构件的分布质 量在一些适当的位置集中起来，离散为若干个集中质点， 使无限自由度系统转化为有限自由度系统，从而使计算得 到简化。 简化原则：静力等效原则 使集中后的惯性力力系与原来的惯性力系力互为等效 （它们的主矢与主矩彼此相等）。
第二章 机械系统运动微分方程的建立
• 2-1 机械系统的动力学特征参数 • 2-2机械系统动力学模型的建立 • 2-3 机械系统运动微分方程的建立
第二章 机械系统运动微分方程的建立
2-1 机械系统的动力学特征参数 一、自由度
描述机械系统运动构件位置的独立运动参数(或独立坐标)的 数目。 动力系统按自由度划分可分为： 单自由度系统，多自由度系统和连续系统。 单自由度系统：
(a)
(b) 图2-14
(c)
1。单自由度系统，建立坐标系，提出的力学模型 如图2-14(b)所示。取电动机为研究对象，画出的受 力图如图2-14(c)所示
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-2 单自由度系统 2.根据达朗伯原理
(M m) g 0 me 2 sin ky (m M ) y
m v
转动惯量为构件绕某点或某固定轴转动惯性的度量
J c mi ri2
m为第i个质点的质量， ri 为第i质点到转动中心c 式中： 的距离。
i
第二章 机械系统运动微分方程的建立
2、弹簧
弹性变形是弹性体的一个基本属性，可以抽象为弹簧 符号来表示
F k ( x2 x1 ) k x
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-1 涉及到基本定理
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-1 涉及到基本定理
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-2 单自由度系统 对于图2-13所示的单自由度强迫振动系统，可采用牛 顿第2定律建立其运动微分方程。解法步骤如下：
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-2 单自由度系统 图2-14(a)所示的安装在简支梁上的电动机，工作时转动 角速度为 ，梁的等效质量和电动机的质量总和为M,若 电动机的转子的偏心质量为m,建立系统的运动微分方程。
调整静坐标原点，以静平衡位置为坐标原点
ky me 2 sin t (M m) y
2-3 机械系统运动微分方程的建立 2-3-2 单自由度系统 单自由度多刚体系统
图示偏置曲柄滑块机构，已知：曲柄AB 的长度为 ，质量为m1， 对转动中心A的转动惯量为JA, 图2-16 连杆BC的杆长为 ,质量为m2，对其质心C2的转动惯量为J2，滑块 C质量为m3,建立运动方程。 解：1、单自由度多刚体系统，取广义坐标 （曲柄转角）。宜采 用动能定理建立系统的运动微分方程。 2、以整个系统为研究对象，注意约束反力不做功，只画主动力 3、分析运动 曲柄AB：定轴转动， 角速度 连杆BC：平面运动，可通过运动学分析求质心C2的速度Vc2，以 及转动角速度 滑块C ：平动，速度VC3
• 从实际出发，符合实际。即建立的动力学计算简图要反映 实际动力学问题的本质和规律。 • 分清主次，略去细节。通过简化得到的动力学计算简图要 便于计算。 即：实际出发、分清主次、存本去末、追求神似。
第二章 机械系统运动微分方程的建立
水塔结构
横梁刚度为无穷大的2层框架结构
第二章 机械系统运动微分方程的建立
其中 k称为弹簧的刚度系数， 为弹簧的伸长量， F为弹簧的 x 作用力。 弹簧可分为：线性弹簧和非线性弹簧 F k ( x2 x1 ) k x 线性弹簧 非线性弹簧 F kx x3
F kx x3
第二章 机械系统运动微分方程的建立
3、阻尼器 阻尼器是动力系统中的能量耗散装置。阻尼是动力系统的又 一个重要的特征参数。工程中常见的是粘性阻尼，即阻尼力 与相对运动速度成正比
2-3 机械系统运动微分方程的建立2-3-2 单自由度系统 单自由度多刚体系统 4.根据质点系动能定理
kx y( x, t ) k (t ) sin l k 1
n
写成更一般的形式
y( x, t ) k (t )k (t )
k (t ) 是自动满足位移边界条件的函数集合中任意选取 的n个函数。 动力学仿真软件ADAMS中的弹性构件就是采用“广义 坐标法”表述。
k 1
n
第二章 机械系统运动微分方程的建立
第二章 机械系统运动微分方程的建立
图2-6 安装在简支梁上电动机
图2-5 不计轴向变形的均质简支梁
第二章 机械系统运动微分方程的建立
2、广义坐标法 广义坐标法是一种应用数学中的Tailor级数近似逼近一个连续 函数来减少连续系统动力自由度的简化方法。具有分布质 量的简支梁的振动曲线（位移）曲线，可近似地用三角级 数表示为