det[ R I ] det 1 6 8 0 3
解得
设 式中，
0
1 2 4
q00 q01 Q1 q q 10 11
q01 Q1 q11
Q Q0
q00 Q0 q10
3.2.5 自适应滤波器计算举例
3.2.5 自适应滤波器计算举例
【例3.1】有一个自适应线性组合器, 如图L3.1所示. 设 E[ x2 (n)] 1 , E[ x(n) x(n 1)] 0.5 , E[d 2 (n)] 4 ,E[d (n) x(n)] 1 , E[d (n) x(n 1)] 1 . 在开关S打开和闭合的两种情况下, 求解以下问题: （1）求性能曲面函数, 并画出图形; （2）求最佳权矢量 w1 ;
(0)]2 λk (1 2 λk ) 2 n (n) min [vk
k 0

Hale Waihona Puke L (0)]2 1 (1 2 0.05 1) 2 n } 4 {[v0 (0)]2 3 (1 2 0.05 3) 2 n } {[v0 4 0.5 (0.9)2 n 37.5 (0.7) 2 n
1 4
注意：由于行列式 det[ R I ] 0 ，上式中的系数矩阵Q0、Q1 是奇异的，故q值只能用任意常数C1、C2来确定。令
q00 C1 q C 10 1
q01 C2 C q11 2
（3）求最小均方误差min .
x(n) ○

Z 1
d(n) w1
○

S


y(n)


○
e(n)
图L3.1
3.2.5 自适应滤波器计算举例
解：[提示思路] ●开关S断开时:
y(n) w1 x(n 1)
e(n) d (n) y(n) d (n) w1 x(n 1)
(n) E[e2 (n)] E[d 2 (n)] 2 E[d (n) x(n 1)]w1 E[ x 2 (n 1)]w12
因此，求性能曲面主轴，实际上就是求 R 的特征矢量Q 或特 征矢量矩阵 Q 。 考虑到 R 与其特征值 n 和特征矢量 Qn 满足下列关系：
n
( R n I )Qn 0
而 R 的 L 1 个特征值n 可由 R 的特征方程 det[ R I ] 0 解出. 因此，由 1 3 2
1 2
3.2.5 自适应滤波器计算举例
于是 得到
Q 1 1 1 2 1 1
Q0
1 1 2 1
1 1 Q1 2 1
和 v1 。 这就是性能曲面的主轴v0 （4）性能曲面沿主轴的二阶导数 在坐标系 v 中，性能曲面的表示式为
【例3.4】已知性能曲面函数表示式
2 2 2w0 2w1 2w0 w1 14w0 16w1 42
w (0) [ w0 (0) （1）设 0.1 ， w(20) 矢量及 。
w1 (0)]T 5 2
T
,用最陡下降法求前5个权
w(0) 0 ，求最陡下降法的学习曲线表示式。 （2）设 0.05 ，
w
w (0)数据代入上式，并令 n 20 ，即可求 R 、 、 、
3.2.5 自适应滤波器计算举例
●根据关系式( R n I )Qn 0 和QQT I
1 1 1 2 1 1
1 1 2 5
，求出
Q
以及 最后得
v (0) Q 1[ w (0) w ]
可以看出，当 n 增大时， (n) 按指数规律下降，且
n
lim (n) 4
3.2.5 自适应滤波器计算举例
w0 (20) 2 0.6 0.2 w (20) 3 0.2 0.6 1
2n
3 2.023058 1 2.976942
解：[提示思路] （1）根据最陡下降法权矢量迭代公式
w (n 1) w (n) (n) [ I 2 R]w (n) 2 Rw
计算当 n 0,1, 2,3, 4 时的权矢量，需计算输入信号的自相关矩 阵 R 。由梯度公式：
2( Rw P ) w 令 0 ，可解得最佳权矢量 w 与自相关矩阵 R 分别为
利用迭代关系（前一个权矢量作为下一个权矢量的初值）， 同样可求得另外4个权矢量。
3.2.5 自适应滤波器计算举例
若采用以上迭代法求 w(20) ，则需求w(19) 及其以前 的所有权矢量的值，计算量较大，为此可改用下列方法。 n 由主轴迭代公式 v(n) ( I 2Λ) v(0) 现将上述公式由主轴坐标系返回自然坐标系，则可由 w (0) 直 接求 w(20) 。将上式两边左乘Q，得
2 E[d 2 (n)] 2 E[d (n) x(n 1)]w1 E[ x 2 (n)]w1 (n) (n) 2E[d (n) x(n 1)] 2E[ x 2 (n)]w1 w1
令(n) 0 ,可求得 w1 .进一步,将 w1 代入 (n) 表达式,可得min . ●开关S闭合时:
输入矢量与参考信号的互相关矩阵:
P E[d (n) x(n)] E[d (n) x(n) d (n) x(n 1)]T [1 1]T
利用下列公式求性能曲面表示式:
(n) E[e2 (n)] E[d 2 (n)] wT Rw 2PT w
进而可求得 (n) 和min .
Qv(n) Q( I 2Λ)n v(0)
由于
v (n) Q 1v(n) Q 1[w(n) w ] v (0) Q 1[w(0) w ]
因此，得到 w(n) w Q( I 2Λ)n Q1[w(0) w ] 利用恒等式 (QAQ1 )n QAnQ1 ，上式可写成 w(n) w ( I 2R )n [w(0) w ] 将已知的 得 w(20) ：
●最小均方误差 w 将最佳权矢量 代入性能曲面表示式，得
2 2 min 2w0 2w1 2w0 w1 14w0 16w1 42 4
1 ，3 。 ●由特征方程 det[ R I ] 0 ，解得
3.2.5 自适应滤波器计算举例
2 w 0 w w 1 3 2 再分别计算： 2 R 2 0.1
2 1 R 1 2
1 0.4 0.2 0.2 0.4 1 2
选择常数C1、C2使Q是正交的，即
2 2 2 2 C1 C2 C1 C1 C1 C2 C1 C2 QQ I C C 2 2 2 2 C C 2 1 2 2 C1 C2 C1 C2 T
解得
C1 C2
T y(n) x(n) w1x(n 1) w1 x(n)
其中,输入矢量:
x (n) x(n) x(n 1)
T
3.2.5 自适应滤波器计算举例
权矢量:
w1 1 w1
T
输入矢量的自相关矩阵:
x 2 ( n) x(n) x(n 1) 1 0.5 R E 2 0.5 1 x ( n 1) x ( n ) x ( n )
已经求出
2 w 0 w w1 3
w (20) 已十分逼近 w 。 可见，当迭代20次后， （2）由最陡下降法学习曲线表示式
(n) min

k 0
L
(0)]2 λk (1 2 λk ) 2 n [vk
现依次求式中各参量：
将E[d 2 (n)] ，R、P、w代入 表达式，得
w 6w 2w 4 0 1 0 0 6 w 2 w 10 1 0 w 0 13 w0 8
2 2 3w0 3w1 2w0 w1 4w0 10w1 10
以及R, P等数值, 然后按[例3.1]的方法求解.
3.2.5 自适应滤波器计算举例
【例3.3】已知输入信号的自相关矩阵为
3 1 R 1 3
输入信号与参考信号的互相关矩阵:
2 P 5
参考信号的均方值为 E[d 2 (n)] 10 （1）求性能曲面表示式.
（2）令
，解得
w1
1 8
（3）根据性能曲面的基本性质之一：主轴 v 就是 R 的特征 矢量，即
v Qn
式中， Qn (n 0,1,2,, L) 为 R 的特征矢量。以 R 的特征矢量矩阵 Q ：
Qn
作为列构成的方阵是
3.2.5 自适应滤波器计算举例
Q Q0 Q1 Qn QL
.
（2）求最佳权矢量. （3）求性能曲面主轴. （4）求性能曲面沿主轴的二阶导数. 解：[提示] （1）采用下式求性能曲面 ：
(n) E[e2 (n)] E[d 2 (n)] wT Rw 2PT w
3.2.5 自适应滤波器计算举例
其中，权矢量 w 包含两个权系数：
w [w0 w1 ]T
3.2.5 自适应滤波器计算举例
由
( R n I )Qn 0
得
( R 0 I )Q0 0
( R 1 I )Q1 0
0 2
1 1 q00 1 1 q 0 10
1 1 q01 1 1 q 0 11
0.6 0.2 I 2 R 0.2 0.6