习题课 正弦定理与余弦定理
双基达标
(限时20分钟)
1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是
( )．
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 答案 C
2．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是
( )．
A ．锐角
B ．钝角
C ．直角
D ．60°
解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ＝
b 2＋
c 2
－bc 2bc
＝
⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c 2
4
2bc
＞0，∴0°＜A ＜90°.
答案 A
3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于 ( )．
A.21
B.106
C.69
D.154
解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a
2.
在△ABM 中，
AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a
2×4·cos ∠AMB ①
在△ACM 中，
AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a
2·cos ∠AMB ②
①＋②得：72＋62＝42＋42＋1
2
a 2，
∴a ＝106. 答案 B
4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．
解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π
6.
答案 π
6
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
解析 由sin B ＋cos B ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π
4＝2得 sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝1，∴B ＝π
4. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得
sin A ＝a sin B
b ＝
2sin π
4
2
＝12
， ∴A ＝π6或56
π.
∵a ＜b ，∴A ＜B ，A ＝π
6.
答案 π6
6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a ，b ，c 满足2b 2＝3ac ，求A . 解 由A 、B 、C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ， 故sin A sin C ＝12
.
cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －1
2，
即cos A cos C －12＝－1
2，
cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，
所以A ＝90°，或A ＝30°.
综合提高 (限时25分钟)
7．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为
( )．
A.43 B ．8－4 3 C ．1
D.23
解析 由(a ＋b )2－c 2＝4得(a 2＋b 2－c 2)＋2ab ＝4.① ∵a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，故方程①化为2ab (1＋cos C )＝4. ∴ab ＝
2
1＋cos C
.
又∵C ＝60°，∴ab ＝4
3.
答案 A
8．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是
( )．
A.⎝⎛⎦⎤0，π6
B.⎣⎡⎭⎫
π6，π C.⎝⎛⎦
⎤0，π3
D.⎣⎡⎭⎫π3，π
解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＝
a 2R ，sin B ＝
b 2R ，sin C ＝c
2R
(其中R 为△ABC 外接圆的半径)，由sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C 可得a 2≤b 2＋c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2≥bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴0＜A ≤π
3.
答案 C
9．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝c
cos
C 2，则△ABC 的形状是________．
解析 ∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， ∴sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin C cos C 2，∴sin A 2＝sin B 2＝sin C
2，
又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A 2＋B 2＋C 2＝π2.
∴A 2＝B 2＝C 2，∴A ＝B ＝C ＝π3
.
答案 等边三角形
10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C
tan B 的
值是________．
解析 由b a ＋a
b ＝6cos C ，得b 2＋a 2＝6ab cos C .
化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan C
tan B 切化弦，
得sin C cos C ·⎝⎛⎭⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin (A ＋B )
sin A sin B
＝sin C cos C ·sin C sin A sin B ＝sin 2C cos C sin A sin B . 根据正、余定理得sin 2C
cos C sin A sin B
＝
c 2
ab ·
a 2＋
b 2－
c 22ab
＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 2
32c 2－c 2
＝4. 答案 4
11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知m ＝⎝⎛⎭⎫cos 3A 2
，sin 3A
2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2
，sin A 2，且满足|m ＋n |＝ 3.
(1)求角A 的大小；
(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →
|，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m·n ＝3， 即1＋1＋2⎝⎛⎭⎫cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A
2＝3， ∴2＋2cos A ＝3.
∴cos A ＝12.∵0＜A ＜π，∴A ＝π
3
.
(2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →
|，∴b ＋c ＝3a ， ∴sin B ＋sin C ＝3sin A ， ∴sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3×32， 即
32sin B ＋12cos B ＝3
2
， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝32
.
∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π
6，
∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π
2.
当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6.
故△ABC 是直角三角形．
12．(创新拓展)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34. (1)求
1tan A ＋1tan C
的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．
解 (1)由cos B ＝3
4，
得sin B ＝
1－⎝⎛⎭⎫342＝74.
由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C
sin C
＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B
＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝47
7
. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32，
由cos B ＝3
4，可得ca ＝2，
即b 2＝2.
由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ， 得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9， ∴a ＋c ＝3.。