正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )r (r 是三角形内切圆半径)，并可由此计算R 、r 选择题在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定 解析 ∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b ，∴满足条件的三角形有2个．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32 B.3 C ．2 3 D ．2解析 因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1， 所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝3，所以BC ＝ 3.已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( )A ．x ＞2B ．x ＜2C ．2＜x ＜2 2D ．2＜x ＜2 3 解析 若三角形有两解，则必有a ＞b ，∴x ＞2，又由sin A ＝a b sin B ＝x 2×22＜1，可得x ＜22，∴x 的取值范围是2＜x ＜2 2.已知锐角三角形的边长分别为1，3，x ，则x 的取值范围是( )A ．(8,10)B ．(22，10)C ．(22，10)D ．(10，8)解析 因为3>1，所以只需使边长为3及x 的对角都为锐角即可，故⎩⎪⎨⎪⎧12＋x 2>32，12＋32>x 2，即8<x 2<10.又因为x >0，所以22<x <10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形解析 已知c b <cos A ，由正弦定理，得sin Csin B <cos A ，即sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．在△ABC 中，cos 2B2＝a ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 解析 ∵cos 2B2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c2c ，∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a ，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)及已知条件sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，可设a ＝5x ，b ＝11x ，c ＝13x (x ＞0)．则cos C ＝(5x )2＋(11x )2－(13x )22·5x ·11x ＝－23x 2110x 2＜0，∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a ＞b ”是“cos2A ＜cos2B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析 因为在△ABC 中，a ＞b ⇔sin A ＞sin B ⇔sin 2A ＞sin 2B ⇔2sin 2A ＞2sin 2B ⇔1－2sin 2A ＜1－2sin 2B ⇔cos2A ＜cos2B ，所以“a ＞b ”是“cos2A ＜cos2B ”的充分必要条件．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6解析 在△ABC 中，由b ＝c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b 2，又a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝sin A ， 即tan A ＝1，又知A ∈(0，π)，所以A ＝π4，故选C.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为32，则C ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 解析 ∵S △ABC ＝12·AB ·AC ·sin A ＝32，即12×3×1×sin A ＝32，∴sin A ＝1，由A ∈(0°，180°)，∴A ＝90°，∴C ＝60°，故选C已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B ，则B 等于( )A.π6B.π4C.π3D.3π4解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝ac ＋b ，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，故B ＝π3，故选C.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( ) A.π3 B.5π6 C.π6或5π6 D.π6解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，∴由正弦定理a sin A ＝b sin B 可得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12， ∵A ＝2π3，∴B ＝π6设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C 等于( ) A.2π3 B.π3 C.3π4 D.5π6解析 因为3sin A ＝5sin B ，所以由正弦定理可得3a ＝5b .因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝25＋9－2×3×5cos C ， 解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932 C.332 D ．3 3 解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.填空题△ABC 中，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为______解析 由已知得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ， 又sin A ≠0，∴sin A ＝1，A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________.解析 因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin 60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜180°，所以A ＝30°或150°(舍去)，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝______解析 由余弦定理：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，∴sin A ＝74，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋25－362×4×5＝18，∴sin C ＝378，∴sin2Asin C ＝2×34×74378＝1.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为______ 解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B ，结合已知等式得cos B tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝______ 解析 由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0∵sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，代入上式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0 ∵sin C ＞0，∴3sin B －cos B －1＝0，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A ，B ，C 的度数依次是_____ 解析 由题意知a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 又c 2＝b 2＋2bc ，∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝______ 解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，又a ＝2，所以b ＝3，故c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以c ＝4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝______ 解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6. 又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3. 又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，即3sin 2π3＝b sin π6，在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB ＝______ 解析 ∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ， 化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________解析 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得2c 2＝b 2＋bc ，∵c ≠0，∴等式两边同时除以c 2，得2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋bc ，可解得b c ＝1在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A＝－14，则a 的值为______解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.解答题在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2 (1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解 (1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C .所以－cos2B ＝sin 2C .①又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos2B ＝－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－C ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－2C ＝sin2C ＝2sin C cos C ，②，由①②解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55，因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010， 由正弦定理得c ＝223b ，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝3b sin A －a cos B . (1)求角B ；(2)若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .解 (1)由a ＝3b sin A －a cos B 及正弦定理，得sin A ＝3sin B ·sin A －sin A ·cos B ，∵0<A <π，∴sin A >0，3sin B －cos B ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，又∵0<B <π，∴－π6<B －π6<5π6，∴B ＝π3.(2)∵S ＝12ac sin B ＝3，∴ac ＝4，①，又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2＝8.② 由①②联立解得a ＝c ＝2.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD . 因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC ，由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12. (2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6，由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．解 (1)△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c ， 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64 (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104于是，cos2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin2A ＝2sin A ·cos A ＝154所以，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos2A cos π6＋sin2A sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×32＋154×12＝15－38已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为．解析 由正弦定理，可得(2＋b )(a －b )＝(c －b )·c ∵a ＝2，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴sin A ＝32.由b 2＋c 2－bc ＝4，得b 2＋c 2＝4＋bc .∵b 2＋c 2≥2bc ，即4＋bc ≥2bc ，∴bc ≤4，∴S △ABC ＝12bc ·sin A ≤3，即(S △ABC )max ＝ 3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cos A 3sin B cos B . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝45，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得1＋cos2A 2－1＋cos2B 2＝32sin2A －32sin2B ，即32sin2A －12cos2A ＝32sin2B －12cos2B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.由a ≠b ，得A ≠B ，又A ＋B ∈(0，π)，所以2A －π6＋2B －π6＝π，即A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3，sin A ＝45，a sin A ＝c sin C ，得a ＝85，由a ＜c ，得A ＜C ，从而cos A ＝35，故sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝4＋3310，所以，△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝83＋1825.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin(A ＋B )＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值．解 在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69.因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角．所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223. 由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin Asin C ＝223c 69＝23c ，又ac ＝23，所以c ＝1.专项能力提升在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62 D.3＋394解析 设AB ＝c ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B 知7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 解析 ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )， ∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)， ∴△ABC 为等腰或直角三角形．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若S △ABC ＝23，a ＋b ＝6，a cos B ＋b cos Ac ＝2cos C ，则c ＝( )A ．27B ．4C ．2 3D ．3 3 解析 ∵a cos B ＋b cos Ac＝2cos C ，由正弦定理，得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ， 由于0＜C ＜π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π3.∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝34ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝4＋16－8＝12，∴c ＝23，故选C.11在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝______解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210. 在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝______解析 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB＝3sin120°，解得sin ∠ADB ＝22，所以∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2×sin120°sin30°＝ 6.在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为______解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin60°＝BC sin A ，∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C )＝2(sin C ＋2sin120°cos C －2cos120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值7.。