当前位置:文档之家› 正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理


cosA= b2+c2-a2 ; 2bc
cosB= a2+c2-b2 ; 2ac
式 ③a∶b∶c= sinA∶sinB∶sinC cosC= a2+b2-c2 .
④asinB=bsinA,bsinC=csinB,
2ab
asinC=csinA.
.
定理
正弦定理
余弦定理
①已知三边,求
①已知两角和任一边,

cosA=0
时,A=π2,B=π6,a=4
3
3,b=2 3
3 .
所以△ABC 的面积 S=12absinC
=12×433×233× 23=233;
当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,
.
联立方程组ab2=+2ba2,-ab=4,
解得a=2 3 3,
b=4
3
3 .
大小为
()
2π A. 3
5π B. 6

π
C. 4
D.3
解析:由余弦定理得 cos∠BAC=AB2+2AABC·A2-C BC2=522+×352×-372
=-12,且∠BAC∈(0,π),因此∠BAC=23π.
答案: A
.
3.在△ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3sinAsinC,则角 B
.
故 sin2B=34,sinB= 23或 sinB=- 23(舍去), 于是 B=π3或 B=23π. 又由 b2=ac 知 b≤a 或 b≤c,所以 B=π3.
.
在△ABC 中,设 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,试根据以 下已知条件解三角形. (1)a=2 3,b= 6,A=45°; (2)a=2,b=2 2,c= 6+ 2; (3)a=2 2,b=2 3,C=15°.
2×6- 46- 2 Nhomakorabea2

2 2.
∵a<b,∴A<B.
又∵0°<A<180°,∴A 必为锐角.
∴A=45°,从而得 B=120°.
.
法二:求 c(同法一),
由余弦定理的推论得 cosA=b2+2cb2c-a2
=2
32+ 6- 2×2 3×
22-2 6- 2
22= 22,
又∵0°<A<180°,
∴A=45°,从而 B=120°.
的大小为
()
A.150°
B.30°
C.120°
D.60°
解析:由正弦定理可得 b2-c2-a2= 3ac,由余弦定理可得 cosB=a2+2ca2c-b2=- 23.故角 B 为 150°.
答案: A
.
4.△ABC 中,若 a=3 2,cosC=13,S△ABC=4 3,则 b=________. 解析:∵cosC=13,0<C<π,∴sinC=2 3 2 ∴S△ABC=12absinC=4 3
.
解:(1)法一:在△ABC 中,由正弦定理得
sinB=bsianA= 62×322=12. ∵a>b,∴A>B,B 必为锐角,
∴B=30°,C=105°.
∵sinC=sin105°=sin(60°+45°)
=sin60°cos45°+cos60°sin45°

6+ 4
2,
∴c=assiinnAC=2
.
∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2), ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a=b或a2+b2=c2, ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
.
法二:由ab=ccoossBA,得ssiinnAB=ccoossBA, ∴sinAcosA=cosBsinB, ∴sin2A=sin2B. ∵A、B 为△ABC 的内角, ∴2A=2B 或 2A=π-2B, ∴A=B 或 A+B=π2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.
.
[自主解答] (1)由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4, 又因为△ABC 的面积等于 3,所以12absinC= 3, 得 ab=4. 联立方程组aa2b+=b42,-ab=4, 解得ab= =22, .
.
(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA,
即 sinBcosA=2sinAcosA.
.
在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边长,已知 2sinA = 3cosA. (1)若 a2-c2=b2-mbc,求实数 m 的值; (2)若 a= 3,求△ABC 面积的最大值.
.
解:(1)由 2sinA= 3cosA两边平方,得 2sin2A=3cosA,即(2cosA- 1)(cosA+2)=0. 解得 cosA=12>0,∴0<A<π2,∴A=60°. 而 a2-c2=b2-mbc 可以变形为b2+2cb2c-a2=m2 , 即 cosA=m2 =12,∴m=1.
∴B=30°,C=180°-A-B=105°.
.
(2)由余弦定理的推论得
cosA=b2+2cb2c-a2
=22×222+2×6+6+22-222=
3 2.
又∵0°<A<60°,∴A=30°.
同理,cosB=a2+2ca2c-b2=22+2×62+×
22-2 6+ 2
22=
22,
∴B=45°,C=180°-A-B=180°-30°-45°=105°.
.
(3)法一:cos15°=cos(45°-30°)
=cos45°cos30°+sin45°sin30°

6+ 4
2 .
∵c2=a2+b2-2abcosC
=(2
2)2+(2
3)2-2×2
2×2

6+ 4
2
=8-4 3=( 6- 2)2,
.
∴c= 6- 2.
由正弦定理得
sinA=asicnC=2
.
考点一 利用正、余弦定理解三角形
(2010·浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分 别为 a,b,c,已知 cos2C=-14. (1)求 sinC 的值; (2)当 a=2,2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.
.
[自主解答] (1)因为 cos2C=1-2sin2C=-14,及 0<C<π,所以 sinC
.
考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状
(2010·辽宁高考)在△ABC中,a,b,c分别为内角 A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求A的大小; (2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.
.
[自主解答] (1)由已知,根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 故 cosA=-12,又 A∈(0,π),故 A=120°. (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C. 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC=12. 因为 0°<B<90°,0°<C<90°,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.
a2= b2+c2-2bccosA ; b2= a2+c2-2accosB ;
c2= a2+b2-2abcosC .
.
定 正弦定理

余弦定理
①a= 2RsinA ,b=2RsinB ,
c= 2RsinC ;
变 ②sinA= a ,sinB= b ,sinC
形=
c
2R ;
2R
2R
形 (其中R是△ABC外接圆半径)
.
解:法一:由ab=ccoossBA,得acosA=bcosB,
∴a·b2+2cb2c-a2 =b·a2+2ca2c-b2,
若将条件“2asinA=(2b+c) sinB+(2c+b)sinC” 改为“ab=ccoossBA”,
∴a2b2+c2-a2=b2a2+c2-b2,试确定△ABC 的形状.
.
又由正弦定理得 2RsinA=a,2RsinB=b, ∴2RsinAcosA=2RsinBcosB, 即 sin2A=sin2B. ∵A≠B,∴2A=π-2B, ∴A+B=π2. ∴△ABC 是直角三角形.
.
考点三 与三角形面积有关的问题
在△ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c, 已知 c=2,C=π3. (1)若△ABC 的面积等于 3,求 a,b; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积.
.
法二:利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB=sinC 可化为 2a·a2+2ca2c-b2=c,即 a2+c2-b2=c2,即 a2-b2=0, 即 a2=b2,故 a=b.所以△ABC 是等腰三角形.
答案:等腰三角形
.
1.正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容 sinaA=sinbB=sincC= 2R
各角;
求另一角和其他两条
解决解斜三
②已知两边和它
边.②已知两边和其
角形的问题
们的夹角,求第
中一边的对角,求另
三边和其他两个
一边和其他两角.
角.
.
2.在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 a=bsinA bsinA<a<b a≥b
解的 个数
一解
两解
一解
.
a>b a≤b 一解 无解
.
(2)由(1)知 cosA=12,则 sinA= 23. 又b2+2cb2c-a2=12, 所以 bc=b2+c2-a2≥2bc-a2,即 bc≤a2. 故 S△ABC=b2csinA≤a22·23=34 3.
相关主题