高考风向1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合．基础知识梳理1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin _B ∶sin _C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin Ab sin A <a <ba ≥ba >b解的个数一解两解一解一解[难点正本 疑点清源]1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC ；在锐角三角形中，cos A<sinB,cosA<sinC ·2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =，30C =，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b .解析：sin sin a cA C=， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===， ∴ 180()105B A C =-+=， 又sin sin b cB C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯+====⨯=+． 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。

【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A . 【答案】0180()180(7560)45A B C =-+=-+=，根据正弦定理5sin 45sin 60o oa =，∴563a =. 【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::abc 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==.例2．在3,60,1ABC b B c ∆===中，，求：a 和A ，C ．思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b cB C=， ∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯===， （方法一）∵0180C <<， ∴30C =或150C =， 当150C =时，210180B C +=>，（舍去）； 当30C =时，90A =，∴222a b c =+=． （方法二）∵b c >，60B =， ∴C B <，∴60C <即C 为锐角， ∴30C =，90A = ∴222a b c =+=． 总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角C 时，因为0sin sin(180)C C =-，所以要依据题意准确确定角C 的范围，再求出角C .3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 类型二：余弦定理的应用：例3．已知ABC ∆中，3AB =、37BC =、4AC =，求ABC ∆中的最大角。

思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 解析：∵三边中37BC =最大，∴BC 其所对角A 最大，根据余弦定理：22222234(37)1cos 22342AB AC BC A AB AC +-+-===-⨯⨯， ∵ 0180A <<， ∴120A = 故ABC ∆中的最大角是120A =. 总结升华：1.ABC ∆中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 举一反三：【变式1】已知ABC ∆中3a =, 5b =, 7c =, 求角C .【答案】根据余弦定理：2222225371cos 22352a b c C ab +-+-===-⨯⨯， ∵0180C <<， ∴120oC =【变式2】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若::a b c =6:2:31+（），求ABC ∆的各角的大小．【答案】设6a k =，2b k =，()31c k =+，()0k >根据余弦定理得：()()263142cos 22316B ++-==+， ∵0180B <<，∴45B =； 同理可得60A =； ∴18075C A B =--=【变式3】在ABC ∆中，若222a b c bc =++，求角A .【答案】∵222b c a bc +-=-， ∴2221cos 22b c a A bc +-==- ∵0180A <<， ∴120A = 类型三：正、余弦定理的综合应用例4．在ABC ∆中，已知23=a ，62=+c ，045B =，求b 及A .思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b ，然后继续用余弦定理或正弦定理求角A .解析：⑴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-=220(23)(62)223(62)cos45++-⋅⋅+ =212(62)43(31)++-+ =8 ∴2 2.=b⑵求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： （法一：余弦定理）∵222222(22)(62)(23)1cos 22222(62)b c a A bc +-++-===⨯⨯+， ∴060.=A （法二：正弦定理）∵0233sin sin sin45222a A Bb ==⋅=又∵62 2.4 1.4 3.8+>+=，2321.8 3.6<⨯= ∴a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三：【变式1】在ABC ∆中，已知3b =, 4c =, 0135A =.求B 和C . 【答案】由余弦定理得：21225135cos 43243222+=⨯⨯-+=oa ， ∴48.621225≈+=a由正弦定理得：sin 3sin135sin 0.327ob A B a a==≈， 因为0135A =为钝角，则B 为锐角， ∴0/197B =. ∴0/180()2553C A B =-+=.【变式2】在ABC ∆中，已知角,,A B C 所对的三边长分别为,,a b c ，若2a =，22b =，62c =-，求角A 和sin C【答案】根据余弦定理可得：()222884343cos 2222262b c a A bc +-+--===⨯⨯- ∵0180A <<， ∴ 30A = ；∴由正弦定理得：()()62sin 3062sin sin 24c AC a--===.其他应用题详解一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kma km a kmD ．2a km解析 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴AB ＝3a . 答案 B2．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km解析 如图，由条件知AB ＝24×1560＝6，在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin30°＝AB sin45°，所以BS ＝ABsin45°sin30°＝3 2.答案 B3．轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )A ．35海里B ．352海里C ．353海里D ．70海里解析 设轮船A 、B 航行到下午2时时所在的位置分别是E ，F ，则依题意有CE ＝25×2＝50，CF ＝15×2＝30，且∠ECF ＝120°，EF ＝CE 2＋CF 2－2CE ·CF cos120° ＝502＋302－2×50×30cos120°＝70. 答案 D4．(2014·济南调研)为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是( )A ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33 mB ．20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32 mC ．20(1＋3) mD ．30 m解析 如图所示，由已知可知，四边形CBMD 为正方形，CB ＝20 m ，所以BM ＝20 m ．又在Rt △AMD 中，DM ＝20 m ，∠ADM ＝30°， ∴AM ＝DM tan30°＝2033(m)． ∴AB ＝AM ＋MB ＝2033＋20 ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋33(m)．答案 A5．(2013·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )解析 由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3×22＝5，所以AC ＝5，再由正弦定理：sin ∠BAC ＝sin ∠ABCAC ·BC ＝3×225＝31010.答案 C6．(2014·滁州调研)线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始多少h 后，两车的距离最小( )B ．1D ．2解析 如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理，得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos60°＝(200－80t )2＋2 500t 2－(200－80t )·50t ＝12 900t 2－42 000t ＋40 000.当t＝7043时，DE最小．答案C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC ＝120°，则A、C两地的距离为________km.解析如右图所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝107(km)．答案1078．如下图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________n mile/h.解析设航速为v n mile/h在△ABS中，AB＝12v，BS＝82，∠BSA＝45°，由正弦定理得：82sin30°＝12vsin45°，∴v＝32(n mile/h)．答案329．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．解析在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，BCsin45°＝CDsin30°，BC＝CD sin45°sin30°＝102(米)．在Rt△ABC中，tan60°＝ABBC，AB＝BC tan60°＝106(米)．答案106三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．(2014·台州模拟)某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗解在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝106，由正弦定理，得BC＝CD sin45°sin30°＝20 3.在Rt△ABC中，AB＝BC sin60°＝203×32＝30(米)，所以升旗速度v＝ABt＝3050＝(米/秒)． 11.如图，A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间解 由题意，知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB＝AB sin ∠ADB，于是DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.得CD＝30(海里)，故需要的时间t＝3030＝1(小时)，即救援船到达D点需要1小时．12.(2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内解(1)在△ABC中，因为cos A＝1213，cos C＝35，所以sin A＝513，sin C＝45.从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsin C＝ACsin B，得AB＝ACsin B×sin C＝1 260 63 65×45＝1 040(m)．所以索道AB的长为1 040 m.(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2＋70t＋50)，因0≤t≤1 040130，即0≤t≤8，故当t＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BCsin A＝ACsin B，得BC＝ACsin B×sin A＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得1 25043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速1 250 43，62514](单位：m/min)范围内．度应控制在[。