会做得全分
——“讲好，练好，考好”基础考点考题
佛冈一中数学科组
各位评委，各位老师，大家好。
我是8号邓顺平。
基于三角函数在高考中主要以简单、基础题出现，我的说题标题是《会做得全分——“讲好，练好，考好”基础考点考题》，我将从以下六方面展开： 一、原题背景：
17．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上的最小值和最大值．
这是一道07年天津理科高考试卷第17题，也是第一道大题。
主要考查的是高中数学人教版必修4的三角函数。
条件是有关三角函数的解析式，问题是求相关性质：周期，给定定义域范围内最值。
虽然这是一道老题，但这恰恰体现了他的经典。
这一章节知识内容也是我们广东历年高考的必考内容，因为他能够涉及较多高中数学学习的基础内容，思想方法，逻辑思维等。
他的题型设置主要是一道选择题加一道解答题，分值一般17分，考查内容与解三角形、向量结合的较多。
考查难度以简单基础为主。
因此对于数学学的比较薄弱的学生是一个必须拿下的阵地，也是学生学习、考试由浅入深的关口。
该题通过考查三角函数中特殊角三角函数值、倍角公式、化一公式、函数sin()y A x ωϕ=+的图像性质等基础知识，考查基本运算能力．实现高考考试大纲要求。
（考纲）2．三角函数( 1)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。
(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出sin()y A x ωϕ=+ 的图像，了解三角sin()y A x ωϕ=+ 函数的周期性。
(3)理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x 轴的交点等)，理解正切函数在定义域内的单调性。
(4)理解同角三角函数的基本关系式： (5)了解三角函数 的物理意义；能画出三角函数的图像。
了解参数对函数图像变化的影响。
(6)会用三角函数解决一些简单实际问题，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
二、解题方法
此题第一问主要是考查倍角公式，化一公式，参数对函数性质影响，周期公式，数学运算变形技巧等方面。
解法以通法为主。
（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛
⎫=-+=-=
- ⎪⎝
⎭．
因此，函数()f x 的最小正周期为π．
第二问主要是考查函数定义域，图像，单调性，最值。
易错点是直接将两个端点值代人。
数学思想
主要有数形结合思想，化归思想，方法主要是换元法为主，当然也可以结合函数性质从其他方向入手，但平时教学当中并不提倡，在此简单列举：
（Ⅱ）解法一：因为x 的范围π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，得出t=2x -π/4的范围，从而用正弦函数图像求解。
解法二：运用函数单调性求结，因为π()24f x x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上为增函数，在区间
3π3π84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，3π8f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫
=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
，最小值为1-．
解法三：作函数π()24f x x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π88⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的图象如下：此题恰好左端
点出是五点做图法中第一个点，因此难度也不大。
由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
，最小值为3π14f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
．
三、学情分析
对于我现在所教的两个教学班的学生，对基本运算能力，函数的性质内容及数形结合的数学思想有一定掌握，他们都是有希望上本科、重点高校，但对一些函数的综合题、解析几何、数列等知识点有一定困难，然后公式在较好引导下大多能够直接记下并运用。
因此数学这一科要达到有效分，三角函数就成为了夺分重阵地。
我对于特尖班此类题型的要求是：大题12分的总分则平均得分要在11.5以上，也就是说除个别失误以为，基本上应达到满分。
普尖班最好在10分以上，即多数拿满分，较少部分尽量多拿分。
鉴于我班学情及该考点主要考查内容和考试大纲要求，我提出以下日常学法指导： 四、学法指导
结合考纲要求，指导学生除了要掌握基本运算及式子变形以为，一定要熟识三角函数定义（即sin α=y/r 等）、图像，熟悉特殊角三角函数值，诱导公式，倍角公式。
熟练化一公式，参数对函数图像、性质的影响。
熟练掌握换元法，定义域（结合新元考虑）问题。
总体原则是：宁反复品味几道经典题，不贪多滥做意不明确题。
例如必修4教材P147总复习题第9-12题就是三角函数综合题的经典题。
为了能更好掌握该题考查内容，实现考纲要求，提高数学能力，可以对其进行以下变式： 五、题目变式
1.求函数2
()cos cos 3f x x x =-+的值域。
(目的：定义域简单了，但通过换元转化为二次函数，是求值域的另一种重要题型)
2、已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
R ，（其中0ω>）， （I ）求函数()f x 的值域；
（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为
π
2
，求函数()y f x =的增区间． （目的：解析式带有一个参数，熟练参数对性质的影响，第二问通过图像得出周期，求解析式及性质）
x
3．已知)(,2sin 3cos 2)(2
R a a x x x f ∈++
=
（1）若R x ∈，求f(x)的单调增区间；（2）若]2
,
0[π
∈x 时，f(x)的最大值为4，求a 的值；
（3）在（2）的条件下，求满足f(x)=1且],[ππ-∈x 的x 的集合。
（目的：已知最值，反求参数的值，以及函数在自变量取何值时才得到相应的函数值）
4、设函数()b a x f ⋅=，其中向量R x x b x m a ∈+==),1,2sin 1(),2cos ,(，且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭
⎫
⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 5、在ABC △中，已知2AC =，3BC =，4
cos 5
A =-． （Ⅰ）求sin
B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值． （目的：让学生熟悉三角函数与其他知识综合的常考题。
） 六、预测及反思
1、2010广东文16．（本小题满分14分）
设函数()3sin 6f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以2π为最小正周期．
（1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知9
4125
f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求sin α的值．
2、2011广东文16．（本小题满分为12分）
已知函数1()2sin()36
f x x π
=-，x R ∈。
（1）求(0)f 的值；
（2）设⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0,πβα，f （32πα+）=1310,f （3β+2π）=56．求sin （α β）的值
3、2012广东文16已知函数),64cos()(π+=x A x f R x ∈,且2)3
(=π
f ．
（1）求A 的值；（2）设],2,0[,πβα∈17
30
)344(-=+παf ，58)324(=-πβf ，求)cos(βα+的值．
4、2013广东文16
()2),x 12
33)cos =,2).
3526
f x R
π
π
ππ
θθπθ=∈∈-已知函数—
（1）求f(的值；（2）若，（），求f(
高考题预测：结合近几年三角函数高考题特点，第一问主要是考查特殊角三角函数值，第二问是三角
恒等变换。
命题预测（像上次华师专家说的三年题目有类似，三角函数一般式中三个参数给其中两个求另外一个，降低试题的起点，当然我们不去猜题，不孤注一掷，我们仍然将教学的重点和精力放在基础知识
及基础能力上，对提高学生能力常抓不懈。
）
活动反思：在日常教学中，通过不断的变式，运用数学转化的思想，加深对题意的理解，让学生在充分的交流与合作中加深对问题的认识。
学习数学不仅是为了掌握一些基本知识、基本技能，更重要的是可以提高学生的化归迁移的思维能力和思维灵活性。
在我们数学教学中，让学生们走出题海，引导他们探索数学问题的解题方法，做一题，通一类，会一片。
引领学生善于思考，提高他们分析问题和解决问题的能力。
我的说题完毕，谢谢大家！
2013-11-27。