注意：对于t 0时，f t 0，则
Z f (t nT ) z n F ( z )
18
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
4. 位移定理2
n 1 m 若 Z f (t ) F ( z )， 则 Z f (t nT ) z F ( z ) f (m T) z m 0 若 f (0) f (n 1)T 0， 则 Z f (t nT ) z n F ( z ) n
7. 终值定理
若： Z f (kT ) F ( z )， f (kT )存在终值 证：考虑两个极限序列 lim f (kT ) lim(1 z 1 ) F ( z )
k z 1
f (kT ) z
k 0 n k 0
n
k
f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (nT ) z n
第三节采样过程的数学描述及特性分析
1 级数求和法
几类典型函数的Z变换
１．单位脉冲函数
1 f (kT ) (kT ) 0

k 0 k 0
F ( z ) (kT ) z k (0) 1
k 0
8
School of Automation Engineering
14
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
三 Z变换的性质和定理 1. 线性性质
对任何常数和 , 若Z f1 (t ) F1 ( z ), Z f 2 (t ) F2 ( z ),则有 : Z f1 (t ) f 2 (t ) F1 ( z ) F2 ( z )
第三节采样过程的数学描述及特性分析
1 例4.5 求 F ( s) 2 s ( s 1)
的 Z 变换
1 1 1 1 F (s) 2 2 s ( s 1) s s s 1 F ( z)
1 z
Tz 1
1 2
1 1 1 1 z 1 e T z 1
z F

如
z F 2 z2
k
16
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
3. 位移定理1
1 n k Z f (t nT ) z F ( z ) f (kT ) z k n
k ( z 1 ) k 1
k 0

1 (1 z 1 ) 2
两边同时乘以z-1

，可得
k
1 z 1 k k ( z ) (1 z 1 ) 2 k 0
F ( z) T kz
k 0
Tz 1 Tz 1 2 (1 z ) ( z 1) 2

证:
Z f1 (t ) f 2 (t ) f1 (kT ) f 2 (kT )z k
k 0
f1 (kT )z
k 0

k
f 2 (kT ) z k
k 0
F1 ( z ) F2 ( z )
15
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
2. 乘以 k 后的 Z变换
若： Z f (kT ) F ( z ),

z k 则 Z f (kT ) F
k
z k k k 证： Z f ( t ) f ( kT ) z f ( kT ) k 0 k 0 z z z k 例 F 1(kT ) ， F z z 1 1 z-



1 z z z e jwT e jwT 1 F ( z) jwT jwT jwT 2 j z e ze z e jwT 2j ze 1 z j 2 sin T z sin wT 2 2 2 2 j z cos wT sin wT z 2 z cos wT 1
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
第五节
f (t )

k 0
Z变换理论
f * (t ) f (kT ) (t kT )
F * ( s) f (kT )e kTs
k 0
定义： 有：
ze
Ts

F ( z ) f (kT ) z k
证 ：Z (t nT ) f (k n)T z k z n f (k n)T z ( k n )
k 0 k 0


令
m k n，则
n
Z f (t nT ) z n f m Tz m
mn

n 1 n 1 m m n m z f m Tz f (m T) z z F ( z ) f (m T) z m 0 m 0 m 0
lim f (kT ) lim F ( z )
k 0 z
证： lim F ( z ) lim f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (0)
z z


பைடு நூலகம்21
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
19
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
5. 复位移定理
若Z f (t ) F ( z )， 则
Z e
t
f (t ) F (e
T
z)
证：Z e t f (t ) e kT f (kT ) z k
17
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
特别地:
1 Z f n 1 z F z f 1 Z f n 2 z 2 F z z 1 f 1 f 2

11
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
2 部分分式法
Ai F ( s) i 1 s s i
n
f (t ) Ai e
i 1 n
n
si t
Ai z F ( z) si T i 1 z e
12
School of Automation Engineering
定义： F ( z) Z f (kT ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
f (kT ) z
k 0

k
（1 ）
3
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
在 Z 变换的定义式中，若取T = 1，则有：
k 1 2 n 1 k f ( kT ) z k 0 n 1
F ( z ) Z f * (t ) f (k ) z k
k 0



(2)
【注】：F ( z ) 是对 f * (t ) 而非 f (t ) 的 Z变换。
为什么？
4
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
F ( z) Z f (kT ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2
第三节采样过程的数学描述及特性分析
a 例1 已知 F ( s) s( s a) 换式 F ( z )
，求它对应的 Z 变
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a z z F ( z) aT z 1 z e
13
School of Automation Engineering
F1 ( z) F2 ( z) f1 (t ) f 2 (t )
6
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
二
Z 变换的方法
1 级数求和法（按照 Z 变换定义求） 2 部分分式法（经常使用）
7
School of Automation Engineering
k 0



f (kT ) e
k 0


kT
z

k
F (e T z )
20
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
6.初值定理
若：Z f (kT ) F ( z ) 且极限 lim F ( z )存在，则
z
10
School of Automation Engineering
第三节采样过程的数学描述及特性分析
4． f (t ) e t
F ( z) e
k 0 kT
z
k
1 e
T
z e
1
2T
z
2
z z e T
1 jwt e e jwt 5． f (t ) sin wt 2j
f (kT ) z k
k 0
* * f ( t ) f 可以看出： 若 1 2 (t ) ，则有