分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。

例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。

例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222a b c bc ac ab++的值。

例3. 求证：2220()()()()()()a bcb ac c baa b a c a b b c c b a c ---++=++++++例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+2222z x y xz+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长例5. 求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++，当2a =时的值． 例6. 若1111a b c a b c ++=++，求证：7777771111a b c a b c ++=++.例7. 化简:()()()()()()a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a ------+++++++++．例8. 计算：2132x x x -++262x x ---2104x x ---．例9. 化简2232233223222244113a b a b a a b ab b a a b ab b a b a b a b +++--+++-+--+-．例10. 化简：()()()()()()222222222222a b c b c a c a b a c ba b cb c a------+++-+-+-例11. 已知0a b c ++=，求证2222222221110b c a a c b b a c++=+-+-+- 例12. 已知0a b c ++=，求222222222a b c a bc b ac c ab+++++的值例13. 已知1,2xyz x y z =++=，22216x y z ++=，求代数式111222xy z yz x zx y+++++的值。

方法二、约分：分子、分母先因式分解再约分例14. 已知分式2221(1)()x xy x y -+-+（1） 在什么条件下此分式有意义?（2） 在什么条件下分式的值为正、为负？ （3） 分式的值能否为0？ 例15. 化简：()()42236421121111a a a a a a a a a ---⎛⎫-÷⎪-+---++⎝⎭ 例16.化简：()4224232164242416844m m m m m m m m m m -+-+÷⨯÷+++--+例17. 化简：2222222211222a b a ab b ab a b a b ab ⎡⎤-⎛⎫+÷+⋅⎢⎥ ⎪++-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦例18.化简：222111111()()()111111()()()a b c b c c a a b a b c b c c a a b-+-+--+-+- .方法三、倒数法例19.若13x x +=，则33441713x x x x++++=___________．例20.⑴ 已知15a a+=，则4221a a a ++=_________.⑵ 若2410x x ++=，则42321912192x x x x x ++++=_________.⑶ 若271xx x =-+，则2421x x x ++=__________．例21. 若2310x x -+=，则74843231x x xx x ++=++________．例22.设211xx mx =-+，则36331x x m x -+的值是（ ） A. 1 B. 213m + C. 2132m - D. 2131m +例23. 己知311=-y x ，求y xy x yxy x ---+2232的值。

例24. 设43223440(0,0)a a b a b ab b a b +-++=≠≠，求b aa b+的值. 例25. 已知xy a x y =+，yz b y z =+，zxc z x=+，且0abc ≠，求x 的值。

例26.已知()1xf x x=+，求下列的值 111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f +++++++++方法四、等比定理、设k 法例27. 已知：2341341231241234a a a a a a a a a a a a k a a a a ++++++++====，求k ；例28. 如果234x y z==，求222xy yz zx x y z ++++的值。

例29. 若a b c d b c d a ===，则a b c da b c d-+-+-+的值是_______或________.例30. 若0abc ≠，且a b b c c a c a b +++==，求()()()a b b c c a abc+++的值。

例31.若x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且0xyz ≠，求()()()x y y z z x xyz+++的值；例32. 已知222p q rx yz y zx z xy==---，求证()()px qy rz x y z p q r ++=++++。

例33.已知x y z x y z x y z z y x +--+-++==，且()()()1x y y z z x xyz+++=-，求x y z ++.例34. 已知0ay ≠，且22222222b bx x b bx x a ay y a ay y ++-+=++-+，求证x b a y =或x by a=。

例35.已知y z x z x y x y z p x y z y z x z x y+-+-+-===+++-+-，求23p p p ++的值。

方法五、巧变“1”例36.若1abc =，求证：1111a b ca ab b bc c ca++=++++++．例37.已知1111a b ca ab b bc c ca++=++++++，求证：1abc =．例38.若1abc =，解关于x 的方程2012111x x xa ab b bc c ca++=++++++．例39. 已知1ax by cz ===，求444444111111111111a b c x y z +++++++++++的值。

例40. 设a 、b 、c 均为正数，且a+b+c=1，求证1119a b c++≥。

方法六、换元法例41.化简分式：222222113111112123x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎛⎫+-+-÷⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥--+--+⎣⎦例42.计算22223322332223()2n m n m m n m n n m n m n m m n m n m n+++÷---+-例43.化简)()(2)(2)y x z x x y z x y z ---++-（+()()(2)(2)z y x y x y z y z x --+-+-+()()(2)(2)x z y z y z x x y z --+--+例44.设a ，b ，c 是实数，且222222()()()(2)(2)(2)b c c a a b b c a c a b a b c -+-+-=+-++-++-，求分式222(1)(1)(1)(1)(1)(1)bc ac ab a b c ++++++的值；例45. 关于x 的方程22x c x c +=+的两根是122,x c x c==，求关于x 的方程2211x a x a +=+--的两个根？例46. 若0x y z ++=，1110123x y z ++=+++，求222(1)(2)(3)x y z +++++的值。

例47. 已知1,0x y z a b ca b c x y z ++=++=，求证：2222221x y z a b c++=.例48. 设x 、y 、z 都是正数，求证2229x y y z z x x y z++≥+++++。

方法七、巧解方程组：消元思想；整体相加（减）；整体相乘；两两相加（减）；倒数法例49.已知三个不全为零的数x 、y 、z 满足4360x y z --=，270x y z +-=。

求22222223657x y z x y z ++++的值。

例50. 已知11a b +=，11b c +=，求2c a+的值。

例51.已知111x y zy z x+=+=+，其中x，y，z互不相等，求证：2221x y z=.例52.已知111x y z ty z x+=+=+=，其中x，y，z互不相等，求t的值。

例53.已知14xy+=，11yz+=，173zx+=，求xyz的值。

例54.解方程组：222222414414414xyxyzyzxz⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩例55.解方程组：1112 1113 1114 x y zy z xz x y⎧+=⎪+⎪⎪+=⎨+⎪⎪+=⎪+⎩例56. 已知0a b cb c c a a b++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=--- 例57.已知220a b -≠，且22abc abca b M b c c a-=-=++，求证： ()()()abc a b b c c a =+++，且2abcM c a b=-+.方法八、降次思想例58. 已知210x x --=，求2521x x x++的值。

例59. 已知2519970x x --=，求42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值。

例60. 已知210x x --=，求42322329321122x ax x ax -+=-++的值。

方法九、裂项：因式分解再裂相例61. 计算：2018119171531421311⨯+⨯++⨯+⨯+⨯例62.化简111...123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++例63.1111(1)(2)(2)(3)(3)(4)(100)(101)x x x x x x x x +++++++++++例64.化简：()()()()()d c b a c b a d c b a b a c b a a b +++++++++++例65.求证：111()()(2)[(1)]()()n a a d a d a d a n d a nd a a nd ++⋅⋅⋅+=++++-++例66.化简22()()()()()()b c c a a b a b a c b c b a c a c b b a c a---+++---------例67.化简分式：2221113256712x x x x x x ++++++++例68.化简：222222b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a---++-----+--+--+---.例69. 化简：222222a b c b c a c a b a ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+.例70.化简：()()()()()()222a bc b ac c ab a b a c b c b a c a c b ---++++++++．例71. 若()212a x b xy -=--，且0ab >，求()()()()111...1120072007xy x y x y +++++++的值．例72. 设正整数m 、n 满足m n <，且2221111(1)23m m m m n n +++=++++，则m n +的值是多少？方法十、化为真分式：部分分式化，求最值或整数解例73.将269x -化为部分分式．例74.将下列分式写成部分分式的和的形式：()()3222236113x x x x x -++++．例75.将下列分式写成部分分式的和的形式：()()()32241338121x x x x x x -+++--．例76. 若0x y z ++≠，0x y +≠，0y z +≠，0z x +≠，x a y z =+，y b x z=+，z c x y =+。