分式的恒等变形
第二讲 分式的恒等变形
【专题知识点概述】
分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种。

它以整式恒等变形为基础，并结合分式自身的特点，因此更具有独特的复杂性和技巧性，在数学竞赛中常常出现有关这方面的命题。

分式的恒等变形涉及到的主要内容有：分式性质、概念的灵活应用，分式的各种运算、化简、求值及恒等证明等等。

一：基本知识
1.分式的运算规律
（1）加减法：
)(同分母c b a c b c a ±=± )(异分母bc bd
ac c d b a ±=±
（2）乘法：bd ac
d c b a =•
（3）除法：bc
ad
d c b a =÷
（4）乘方：n n
n b
a b a =)(
2.分式的基本性质
（1）)0(,≠÷÷==m m
b m a b a bm am b a
（2）分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3.比例的重要性质
（1）如果e f
b a e f
c
d c d b a ===那么,（传递性）
（2）如果bd ac c d
b a ==那么（内项积等于外项积）
（3）如果)(合比性质那么
c d
c b b a
d c b a ±=±= （4）如果)()0(,合分比性质那么
d b d
b c a c a d b d c b a -+=-+≠-= （5）如果,0,≠+++==n d b n m
d c b a 且
那么
)(等比性质b
a
n d b m c a =++++++
4.倒数性质
（1）如果两个数互为倒数，那么这两个数的乘积为1。

（2）如果两个数互为倒数，那么这两个数的同次幂仍互为倒数。

（3）如果两个正数互为倒数，那么这两个正数的和不小于2。

二、有关分式的运算求值问题
乘法公式是进行整式恒等变形的常用的重要的工具，我们通过下面的例题来说明在整式的恒等变形中，如何灵活巧妙的运用乘法公式。

➢ 例1.若a 、b 、c 均为非零常数，且满足
a
c
b a b
c b a c c b a ++-=
+-=-+， 又abc
a c c
b b a x )
)()((+++=，且0<x ,求x 的值。

➢ 例2.已知的值求y
xy x y
xy x y x ---+=-2232,311
➢ 例3.已知三个正数a 、b 、c 满足abc=1, 求1
11+++
+++++c ac c
b b
c b a ab a 的值
➢ 例4.已知02
22=-+-+-c ab c
b a
c b a bc a 求2
22222)()()(c ab c
b a
c b a bc a -+-+-的值。

➢ 例5.已知,0,1=++=++z
c y
b x
a c
z b
y a
x
求22
2222c
z b y a x ++的值。

➢ 例6.已知x+y+z=3a (0≠a ,且x 、y 、z 不全相等)， 求2
22)()()()
)(())(())((a z a y a x a x a z a z a y a y a x -+-+---+--+--的值。

➢ 例7.已知1222222222222=-++-++-+ab
c b a ca b a c bc a c b ，n 是自然数， 求1
22221222212222)2()2()2(
+++-++-++-+n n n ab
c b a ca b a c bc a c b 的值。

➢ 例8.的值求若22
1
,123+--+=x x x a x 。

➢ 例9.已知4
1
12=++x x x ，试求分式12
4
2++x x x 的值。

➢ 例10.已知三个不全为零的数x 、y 、z 满足0634=--z y x ，
072=-+z y x 。

求2
222
2275632z
y x z y x ++++的值。

➢ 例11.若x 、y 、z 为有理数，且
222)()()(y x x z z y -+-+-222)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+=
求)
1)(1)(1()
1)(1)(1(2
22++++++z y x xy zx yz 的值
➢ 例12.已知a 、b 、c 互不相等，且满足a+b+c=0,
求ab
c c ac b b bc a a +++++22
2222222的值。

➢ 例13.已知b a ab x b a b a b a +=≠+≠≠≠4,0,0,0,，求b
x b
x a x a x 2222-++-+的值。

➢ 例14.若a c b a b c b a c c b a ++-=
+-=-+，求abc
c b c a b a ))()((+++的值。

➢ 例15.如果的值求都是整数，且q p q p p
q q p q p +>>--,1,11
2,12,,。

三、有关分式的化简问题
➢ 例16.化简)
)()(()
)()((a c c b b a a c c b b a a c a c c b c b b a b a +++---++-++-++-。

➢ 例17.化简3
22131
1]1111[)1(222222+--++--+
÷
---+-+x
x x x x x x x x x x x x x 。

➢ 例18.化简
)
)(())(()(211213212132112
n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++++++++-
➢ 例19.已知2
2
2
)(c b a b a -+=+，并且0≠b ，化简2
22
2)
()(c b b c a a -+-+。

➢ 例20.若02≠-=n
m mn
x ，化简
m ax n mx ax --2。

➢ 例21.化简：
)
2)(2()
)(()2)(2())(()2)(2())((z y x x z y z y z x x y z z y x y x y z z y x z y x x z x y +--+--+-+-+--+-++---
三、有关分式的证明问题
➢ 例22.若00=-+-+-=++c
b
a b a c a c b c b a 且
，求证： 02
22222=-++-++-+b a b
a a
b a
c a c ca c b c b bc
➢ 例23.已知有理数a 、b 、c 满足a+b+c=0，abc=8.试判断c
b a 111
+
+是
正数、负数、还是零。

➢ 例24.已知有理数a 、b 、c 满足c
b a
c b a ++=++1
111，求证：
a c c
b b a -=-=-=或或。

➢ 例25.若n 为自然数，且c
b a
c b
a ++=++1
111，求证：
1
212121
21
21
21
111++++++++=
+
+
n n n n n n c b a c b a
➢ 例26.证明：对于任意自然数n ，分数3
144
21++n n 不可约。

➢ 例27.已知00都不等于、、，且c b a c b a ≠++, 求证：03)11()11()11
(=++++++b
a c c a
b
c b a 。

➢ 例28.证明：
]
)1([1
])1(][)2([1)2)((1)(1d n a a n d n a d n a d a d a d a a -+-=-+-+++++++
➢ 例29.设n 为正整数，求证：2
1)12)(12(1531311<+-++⨯+⨯n n 。

➢ 例30.若,0,0,0,0≠+≠+≠+≠++x z z y y x z y x y x z c z x y b z y x a +=+=+=,,，求证11
11=+++++c c b b a a 。

➢ 例31.设a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，证明：9111
≥++c
b a 。

➢ 例32.求证
a
c c b b a b c a c c a a b c b a c c a b a c b -+-+-=---+---+---2
22))(())(())((。

➢ 例33.能否找出6个奇数，使其倒数之和为1.。