分式恒等变形（竞赛部分）
一、化分式为部分分式的和
【例1】 若
213111a M N a a a -=+--+，求M 、N 的值.
【巩固】已知正整数,a b 满足
1114a b +=，则a b +的最小值是 ．
【例2】 已知
2a x +与2b x -的和等于244x x -，求a ，b .
【例3】 若关于x 的恒等式
222Mx N c x x x a x b +=-+-++中，22Mx N x x ++-为最简分式，且有a b >，a b c +=， 求N .
【例4】 将
269x -化为部分分式.
【例5】 化
21(1)(2)x x x ---为部分分式．
【例6】 将下列分式写成部分分式的和的形式：
2342
x x x +--.
例题精讲
【巩固】将下列分式写成部分分式的和的形式：32222361(1)(3)
x x x x x -++++.
【例7】 将下列分式写成部分分式的和的形式：4322231(1)(1)
x x x x x ++-+-.
二、分式的恒等证明
【例8】 求证：()()332222222222a a a ab b a ab b a ab b a ab b a b a b ⎛⎫⎛⎫++--+-=++-+ ⎪⎪-+⎝
⎭⎝⎭
【例9】 已知：a c b d
=，求证：22222222a b c d a b c d abcd ----++++++=.
【例10】 若a b x a b -=+，b c y b c -=+，c a z c a
-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z x y z +++=---
【例11】 若1abc =，求证：1111a b c a ab b bc c ca
++=++++++.
【巩固】已知1111a b c a ab b bc c ca
++=++++++，求证：1abc =.
【例12】 已知0a b c b c c a a b
++=---，求证：2220()()()a b c b c c a a b ++=---.
【例13】 已知3142a b ab c d cd +==+==，，，，
且
a b c d B b c d c d a d a b a b c
+++=++++++++。

求证： （1）2222
77a b c d B b c d c d a d a b a b c
+++=-++++++++ （2）3333
4968a b c d B b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++
【巩固】已知
2220a b c bc a ac b ab c ++=---，求证：()()()
2222220a b c bc a ac b ab c ++=---
三、分式与数论
【例14】 将a b b a -写成两个因式的积，使它们的和为a b b a +，求这两个式子。

【例15】 求最大的正整数n ，使得3100n +能被10n +整除。

【巩固】在12009这2009个正整数中，使221
n n ++不是既约分式的n 共有多少个？
1.
若对于3±以外的一切数，28339
m n x x x x -=+--均成立，求mn .
课后作业
2. 将下列分式写成部分分式的和的形式：32241338(1)(2)(1)
x x x x x x -+++--.
3.
已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x +=+=+，求证：2221x y z =.
4. 已知
223344371642a b a b a b a b x y x y x x x y +=+=+=+=，，，，求证：5520a b x y
+=。