2005年试题
一、1.求极限1222lim n n a a na n
→∞
++L ，其中lim .n n a a →∞= 2.求极限21lim (1).x x x e x -→+∞+ 3.证明区间（0，1）和(0,)+∞具有相同的基数（势）。

4.计算积分：21,D dxdy y x
+⎰⎰其中D 是由0,1,x y y x ===所围成的区域。

5.计算：2222,:21C ydx xdy I C x y x y
-+=+=+⎰方向为逆时针。

6.设0,0,a b >>证明：11()().1b b a a b b
++≥+ 二、设()f x 为[,]a b 上的有界可测函数且
2[,]()0,a b f x dx =⎰证明: ()f x 在
[,]a b 上几乎处处为零。

三、设()f x 在(0,)+∞内连续且有界，试讨论()f x 在(0,)+∞内的一致连续性。

四、
设222220(,)0,0
x y f x y x y +>=+=⎩，讨论(,)f x y 在原点的连续性，偏导数存在性及可微性。

五、设()f x 在(,)a b 内二次可微，求证：
2
()(,),..()2()()().24a b b a a b s t f b f f a f ξξ+-''∃∈-+= 六、()f x 在R
上二次可导，,()0,x f x ''∀∈>R 又00,()0,lim ()0,lim ()0.x x x f x f x f x αβ→-∞→+∞''∃∈<=<=>R 证明：()f x 在R 上恰有两个零点。

七、设()f x 和()g x 在[,]a b 内可积，证明：对[,]a b 的任意分割
0121:,,[,],0,1,2, 1.n i i i i a x x x x b x x i n ξη+∆=<<<<=∀∈=-L L 有100lim ()()()().n b
i i i a i f g x f x g x dx ξη-∆→=∆=∑⎰ 八、求级数：01(1).31
n
n n +∞=-+∑ 九、试讨论函数项级数222222(1)1
[(1)]n x n x n x n e n e +∞---=--∑在区间(0,1)和(1,)+∞上的一致收敛性。

十、计算222(),I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰其中∑为圆锥曲面222x y z +=被
平面0z =与2z =所接部分的外侧。

十一、设()f x 在[0,1]上单调增加，且(0)0,(1) 1.f f ≥≤证明：3[0,1],..().s t f ξξξ∃∈=
十二、设()f x 在[0,)+∞上连续，0()x dx ϕ+∞⎰绝对收敛，证明
：00lim ()()(1)().n x f x dx f x dx n
ϕϕ+∞→+∞=⎰ 十三、设0,n a >证明：当下极限1ln(
)lim inf 1ln n n a n →∞>时，级数1n n a +∞=∑收敛。

当上极限1ln(
)lim sup 1ln n n a n →∞<时，级数1n n a +∞=∑发散。