育才学校2021届高三下学期3月月考试卷理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若全集U=R.集合A={x|−2≤x≤3}，B={x|x<−1或x>4}，则A∩(∁U B)=()A. {x|−2≤x<4}B. {x|x≤3或x≥4}C. {x|−2≤x<−1}D. {x|−1≤x≤3}2.已知复数z满足|z|=1，则|z+1−2i|的最小值为()A. √5−1B. √5C. 3D. 23.若sin(α−π6)=23，则cos(α+π3)的值为()A. 23B. −√53C. 13D. −234.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=−f(x),f(1)=1，则f(1)+f(2)+⋯+f(2019)=()A. −1B. 0C. 1D. 20195.已知F1，F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为()A. √7B. 4C. 2√33D. √36.执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是()A. 8；B. 5；C. 3；D. 27.已知l,m,n表示两条不同的直线，α,β,γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；②m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；③m//n,n⊥β,m//α⇒α⊥β；④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l//γ,，则m//n.其中正确的命题个数有()A. 1B. 2C. 3D. 48.已知a=2−12，b=log1315，c=log314，则（）A. a<b<cB. c<a<bC. a<c<bD. b<a<c9.在(x2−1√x3)n的展开式中，第5项与第7项的二项式系数相等，则n等于（）A. 9B. 10C. 11D. 1210.已知非零向量a⃗,b⃗ ,c⃗满足a⃗+b⃗ +c⃗=0，向量a⃗,b⃗ 的夹角为，且|b⃗ |=2√33|a⃗|，则向量a⃗与c⃗的夹角为()A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 150∘11.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完。

这样，每日剩下的部分都是前一日的一般。

如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么每日剩下的部分所构成的数列的通项公式为()A. a n=12n B. a=(12)n−1 C. a=(12)n D. a=2n12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)，x=−π4为f(x)的零点，x=π4为y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在(π18,5π36)上单调，则ω的最大值为( )A. 11B. 9C. 7D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+y+1≥0x−3≤0，则当z=2x+y取得最大值时，y=______．14.若函数f(x)=2ax−bx +4lnx在x=1与x=13处都取得极值，则a+b=________；15.在数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+1n(n+1)，则通项公式a n=______．16.抛物线x2=2py(p>0)上的点到直线y=x−5的最短距离为√2，则正数p的值为_____________________。

三、解答题(本大题共6小题,共70分。

其中22、23为选考题。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)17.（12分）中华人民共和国国家统计局2019年9月30日发布数据显示，2019年9月中国制造业采购经理指数(PMI)为49.8％，反映出中国制造业扩张步伐有所加快．以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、电力装备、船舶、无人机等位代表的高端制造业突飞猛进，则进一步体现了目前中国制造的飞跃式发展．已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量在(μ−σ,μ+σ]内的产品称为优等品，质量在(μ+σ,μ+2σ]内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的产品中随机抽取1000件，测得产品质量的样本数据统计如下．(1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，记质量X～N(μ,σ2)，求μ的近似值以及该企业生产的产品为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)(2)假如企业包装时要求把2件优等品和3件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出2件产品进行检验，记摸出2件产品中优等品的件数为Y，求Y的分布列以及数学期望．参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+ 2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．18.（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3sinA=tanB+tanC．cosC(Ⅰ)求角B的余弦值；(Ⅱ)若b=4，当△ABC的周长最大时，求△ABC的面积．19.（12分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥AC，AC=AA1=A1B，AB=BC．(1)证明：B1C//平面A1BD；(2)若AB=√2，AC=2，求B1C与平面ABB1A1所成角的正弦值．20.（12分）已知椭圆L：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，点(2,√2)在L上．(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与L有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：OM 的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21.（12分）已知函数f(x)=e x−alnx(a∈R,a>0)．(1)若a=e，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)≥a(2−lna)．22.（10分）选修4 - 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+cos α,y =2+sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y =√3x.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA|+1|OB|．23.（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x +a|+|x −2|(a ∈R)． (1)当a =0时，解不等式f(x)>3x +4；(2)已知a >0，b >0，f(x)的最小值为m ，且m +b =3，求1a +1b 的最小值．答案1.D2.A3.D4.B5.A6.C7.C8.B9.B 10.B 11.C 12.B 13.4 14.−52 15.4−1n 16.6 17.解:(1)由题意,x =0.010×10×46+562+0.020×10×56+662+0.045×10×66+762+0.020×10×76+862+0.005×10×86+962=70,即μ≈70，样本方差s 2=100,故σ≈√s 2=10,所以X ~N (70,102),所以该企业生产的产品为正品的概率P =P (60< X ≤90)=P (60< X ≤70)+P (70< X ≤90) =12×(0.6827+0.9545)=0.8186.（2）由题意,随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2, 则P (Y =0)=C 20C 32C 52=310,P (Y =1)=C 21C 31C 52=35,P (Y =2)=C 22C 30C 52=110,所以E (Y )=0×310+1×35+2×110=45.18.解：(Ⅰ)依题意，3sinAcosC =tanB +tanC ，所以3sinA−sinCcosC=sinBcosB ，即3sin Acos B =sin Ccos B +sin Bcos C ， 所以3sin Acos B =sin(B +C)=sin A ． 因为A 是三角形的内角，所以sin A ≠0， 所以cosB =13． (Ⅱ)因为b =4，cosB =a 2+c 2−b 22ac =13，即(a +c)2−2ac −16=2ac 3，所以(a +c)2−16=8ac 3≤23(a +c)2，当且仅当a =c 时等号成立，所以a +c ≤4√3，当且仅当a =c =2√3时等号成立． 又cosB =13，所以sinB =2√23，所以当△ABC 的周长最大时，S △ABC =12acsin B =12×2√3×2√3×2√23=4√2．19.(1)证明：连接AB 1，AB 1∩A 1B =E ，再连接DE ．因为侧面ABB 1A 1是平行四边形，所以E 是AB 1的中点．又D 是AC 的中点，故DE // B 1C . 因为DE ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ， 所以B 1C //平面A 1BD ．(2)解：连接A 1C ，由已知AC =AA 1=2，D 是AC 的中点，A 1D ⊥AC ， 可知△A 1AC 是边长为2的等边三角形，故A 1D =√3． 又因为AB =BC =√2，AC =2，因此△ABC 是直角三角形， 所以BD =1.又A 1B =2，故A 1B 2=A 1D 2+BD 2， 所以A 1D ⊥BD ．又AC ∩BD =D ，AC ，BD ⊂平面ABC ， 所以A 1D ⊥平面ABC ．考虑到BD ⊥AC ，故以D 为坐标原点，射线DB 、DC 、DA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ．则A(0,−1,0)，B(1,0，0)，C(0,1，0)，A 1(0,0,√3)， 进而有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,√3)， 设平面ABB 1A 1的一个法向量为n ⃗ =(x 0,y 0,z 0)， 由{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{x 0+y 0=0−x 0+√3z 0=0, 令z 0=−1，得n ⃗ =(−√3,√3,−1)．而B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,0)+(0,1,−√3)=(−1,0,−√3)， 设B 1C 与平面ABB 1A 1所成角为α，sin α=|cos <n ⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||B 1C|=√3√7×2=√217， 所以B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为√217．20.(Ⅰ)解：抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0)，由题意可得c =2，即a 2−b 2=4， 又点(2,√2)在L 上，可得4a 2+2b 2=1， 解得a =2√2，b =2， 所以椭圆L 的方程为x 28+y 24=1；(Ⅱ)证明：设直线l 的方程为y =kx +b(k,b ≠0)， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 将直线y =kx +b 代入椭圆方程x 28+y 24=1，可得(1+2k 2)x 2+4kbx +2b 2−8=0，x 1+x 2=−4kb 1+2k ，所以AB 的中点M 的横坐标为−2kb1+2k 2，纵坐标为−k ⋅2kb1+2k 2+b =b1+2k 2，直线OM 的斜率为k OM =y M−0x M−0=−12k ，所以k OM ⋅k =−12，则OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21.(1)解：a =e 时，函数f(x)=e x −elnx.x ∈(0,+∞)．f′(x)=e x −ex =xe x −e x．令g(x)=xe x ，则g′(x)=(x +1)e x >0， ∴函数g(x)在x ∈(0,+∞)上单调递增． 又g(1)=e ．∴x ∈(0,1)时，f′(x)<0，此时单调递减；x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，此时单调递增． ∴函数f(x)的单调递减为(0,1)；单调递增为(1,+∞)． (2)证明：f′(x)=e x−ax=xe x −a x．由(1)可知：f(x)在x ∈(0,+∞)上必有唯一零点，设为x 0，则x 0e x 0=a ．当x ∈(0,x 0)时，f′(x)<0，此时单调递减；x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0，此时单调递增． ∴f(x)≥f(x 0)=e x 0−alnx 0． 由x 0e x 0=a ，可得：e x 0=ax 0，lnx 0+x 0=lna ． ∴f(x)≥f(x 0)=a x 0+ax 0−alna ≥2a −alna ．∴f(x)≥a(2−lna)．22.解：(1)消去参数α，得曲线C 1的普通方程为(x −2)2+(y −2)2=1，则C 1的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ−4ρsin θ+7=0． 由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3， 故其极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)； (2)由，得ρ2−(2√3+2)ρ+7=0， 故ρ1+ρ2=2√3+2，ρ1ρ2=7， 所以1|OA|+1|OB|=|OA|+|OB||OA|⋅|OB|=ρ1+ρ2ρ1ρ2=2√3+27．23.解：(1)当a =0时，f(x)=|x|+|x −2|={−2x +2,x ⩽02,0<x <22x −2,x ⩾2,则f(x)>3x +4等价于{−2x +2>3x +4x ⩽0 或{2>3x +40<x <2或{2x −2>3x +4x ⩾2, 解得x <−25，所以不等式f(x)>3x +4的解集为{x|x <−25}； (2)因为f(x)=|x +a|+|x −2| ≥|(x +a)−(x −2)|=|a +2|=a +2， 所以m =a +2，所以m +b =a +2+b =3，即a+b=1，1 a +1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√ba·ab=4，当且仅当a=b=12时等号成立，故1a +1b的最小值为4．。