安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二下学期期末数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列命题错误的是( )A ．命题“若p 则q ”与命题“若q ⌝，则p ⌝”互为逆否命题B ．命题“x ∃∈R, 20x x ->”的否定是“R ∀∈,20x x -≤”C ．∀ 0x >且1x ≠，都有12x x+> D ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真2．“ABC 中，若90C ∠=︒，则A ∠，B 全是锐角”的否命题为（ ） A ．ABC 中，若90C ∠≠︒，则A ∠，B 全不是锐角B ．ABC 中，若90C ∠≠︒，则A ∠，B 不全是锐角C ．ABC 中，若90C ∠≠︒，则A ∠，B 中必有一钝角D ．以上都不对.3．设曲线2y ax =在点()1,a 处的切线与直线260x y --=平行，则a =( ) A ．1- B ．1 C ．12- D ．124．已知条件p ：x <－3或x >1，条件q ：x >a ，且⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．a ≥－1B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ≤－3 5．已知点P 在曲线y=41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值 范围是（ ）A ．[0,4π)B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 6．设12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点，过12,F F 作x 轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（ ）A ．12BCD 7．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且函数()f x 在2x =-处取得极大值，则函数()y xf x '=的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为A ．r 2BC D ．r9．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x <-'成立（其中()()f x f x '是的导函数），若a =，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >> 10．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()10f =，当0x >时，有()()20xf x f x x '->恒成立，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．()()1,01,-⋃+∞B ．()()1,00,1-⋃C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-11．M 是抛物线22(0)y px p =>上一点，F 为抛物线的焦点，以Fx 为始边，FM 为终边的角为α，且60α︒=，若||4FM =，则p 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：222x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠等于（ ）A ．14B ．35C ．34D ．45二、填空题13．如图，直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________.14．若31()423f x x x =-+与直线y k =有且只有一个交点，则k 的取值范围为________.15．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y =义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“p ⌝”中是真命题的为_________．16．下列结论：①若命题p ：0x R ∃∈，0tan 2x =；命题q ：x R ∀∈，2102x x -+>，则命题“()p q ∧⌝”是假命题； ②已知直线1l ：310ax y +-=，2l ：10x by ++=，则12l l ⊥的充要条件是3a b =-； ③“设,a b ∈R ，若2ab ≥，则224a b +>”的否命题为：“设,a b ∈R ，若2ab <，则224a b +≤”.其中正确结论的序号为________(把你认为正确结论的序号都填上)．三、解答题17．已知命题:p 对数2()275a log t t -+-（0a >且1a ≠)有意义，:q 关于实数t 的不等式2(3)(2)0t a t a -+++<.（1）若命题p 为真，求实数t 的取值范围.（2）若命题p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，椭圆上两点坐标分别为(,0)A a ，(0,)B b ，若△2ABF 的面积为2，2120BF A ∠=︒. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O (O 为坐标原点)作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于M ，N 两点，证明：点O 到直线MN 的距离为定值.19．已知函数()2ln f x x x x =-+．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）若在y 轴右侧，函数()()2121h x a x ax =-+-的图象都在函数()f x 图象的上方，求整数a 的最小值．20．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，且过点. （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l ：y kx =C 恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围. 21．如图，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN⊥ FA，垂足为N ，求点N 的坐标.22．已知函数()()21ln 2f x x ax a R =-∈ （1）若()f x 在点()()22f ,处的切线与直线210x y -+=垂直，求实数a 的值 （2）求函数()f x 的单调区间；（3）讨论函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上零点的个数参考答案1．D【分析】对给出的四个选项分别进行判断可得结果．【详解】对于选项A ，由逆否命题的定义可得，命题“若p 则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，所以A 正确．对于选项B ，由含量词的命题的否定可得，命题“x ∃∈R, 20x x ->”的否定是“R ∀∈,20x x -≤”，所以B 正确．对于选项C ，当0x >且1x ≠时，由基本不等式可得12x x+>．所以C 正确． 对于选项D ，命题“若a b <，则22am bm <”当0m =时不成立，所以D 不正确． 故选D ．【点睛】由于类似问题考查的内容较多，解题的关键是根据每个命题对应的知识解决，要求对相关知识要有一个整体性的掌握，本题考查综合运用知识解决问题的能力．2．B【分析】利用否命题的形式：条件、结论同时否定，写出命题的否命题，注意“全是”的否定是“不全是”.【详解】否命题即否条件，又否结论，“全是”的否定是“不全是”,所以，“ABC 中，若90C ∠=︒，则A ∠，B 全是锐角”的否命题为 ABC 中，若90C ∠≠︒，则A ∠，B 不全是锐角.故选：B .【点睛】本题考查命题的四种命题，注意否命题与命题的否定的区别.3．B【解析】∵2y ax =，∴2y ax '=，∴1|2x y a =='，∵曲线2y ax =在点()1,a 处的切线与直线260x y --=平行∴22a =，解得1a =．选B ．4．C【分析】关键将⌝p 是⌝q 的充分不必要条件进行转化，计算a 的范围，即可．【详解】结合p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，得出q 可以推出p ，但是p 无法推出q ，故可知 1a ≥，故选B ．【点睛】本道题考查了充分条件，必要条件的判定，关键在于将⌝p 是⌝q 的充分不必要条件进行转化，计算a 的范围，即可，难度中等．5．D【详解】试题分析：因为，所以34παπ≤<，选A. 考点：导数的几何意义、正切函数的值域.6．B【分析】由题意推出椭圆上的点的坐标，代入椭圆方程，得到a 、b 、c 的关系，然后求解椭圆的离心 率即可．【详解】12,F F 是椭圆22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）的左右焦点，过点12,F F 作x 轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形，所以（c ，c ）是椭圆上的点，可得：2222c c 1a b+=，即22222c c 1a a c +=-， 22422422a c c a c a a c -+=-，可得42310e e -+=．解得． 故选B ．【点睛】(1)本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．（2）求离 心率常用的有公式法、方程法.7．D【详解】因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近()f x '>0，-2的右侧()f x '<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，()'0xf x >排除BC ，当x<-2且在-2的左侧附近时，()'0xf x <，排除AC ，故选D8．D【解析】设=COB θ∠，则上底为2cos r θ，高为sin r θ， 因此梯形面积为21(2cos 2)sin (1cos )sin 022S r r r r πθθθθθ=+=+∈，（，） 因为由22222=(sin cos cos )(1cos 2cos )0S r r θθθθθ'-++=-++=， 得1cos 2θ=，根据实际意义得1cos 2θ=时，梯形面积取最大值，此时上底为2cos =r r θ，选D.点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用()0f x '=得可疑最值点；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点. 9．A【解析】试题分析：由题意()()(),()()0,(())0,xf x f x f x xf x f x xf x '<-=-∴<'+<'∴所以()()g x xf x =是(,0)-∞上的减函数，而()g x 是偶函数，所以()g x 是(0,)+∞上的增函数，而21(1),(log )(2),.4a gb gc g g c a b ====-∴>> 考点：本小题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查利用导数研究单调性以及利用单调性比较函数值的大小，考查学生的逻辑推理能力和综合运用所学知识解决问题的能力.点评：解决本小题的关键在于由已知条件得出()()g x xf x =的单调性，解决综合性问题时一定要灵活，要想方设法将待求解问题向熟悉的数学问题上转化.10．A【分析】 构造函数()()(0)f x g x x x=≠，可得()g x 在定义域内为偶函数，并得到()g x 在(0,)+∞ 上单调递增，则在(,0)-∞上单调递减，且(1)0g =，(1)0g -=，结合函数的大致图像分析即可得到()0f x >的解集．【详解】 构造函数()()(0)f x g x x x =≠，则()()2()xf x f x g x x'-'= 由于()f x 是定义在R 上的奇函数， 则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 故()g x 在定义域内为偶函数，图像关于y 轴对称；()10f =，则(1)0g =，(1)0g -=； 又0x >时，有()()20xf x f x x'->恒成立， 故()0g x '>在(0,)+∞上恒成立，即()g x 在(0,)+∞ 上单调递增；根据偶函数的对称性可得()g x 在(,0)-∞上单调递减，所以()g x 的大致图像如下图：()0f x >，即为当0x <时，()0<g x ，当0x >时，()0>g x 的解集，所以()0f x >，则10x -<<或1x >； 即()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ 故选：A. 【点睛】本题考查奇偶函数的定义，根据导数符号判断函数单调性，根据函数单调性解不等式，考查学生数形结合的思维能力，属于中档题目． 11．B 【分析】过M 作x 轴和准线的垂线，根据抛物线定义列方程可求出p 的值. 【详解】过M 作x 轴的垂线MN ，N 为垂足，过M 向抛物线的准线作垂线，垂足为A ， 则||||4MA FM ==||4,60o FM NFM =∠=||2FN ∴= ||2MA p ∴=+ 242p p ∴+=∴=故选：B 【点睛】本题考查抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题. 12．C 【分析】先由双曲线定义12||||2PF PF a -=结合题中条件解得12|||PF PF ==再由余弦定理即可得解. 【详解】由222x y -=知222222,2,4a b c a b ===+=,∴2a c ==.又∵1212||||2|2||PF PF a PF PF -===,∴12|||PF PF ==又∵12||24F F c ==,∴由余弦定理得123cos 4F PF ∠==故选:C . 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，利用题中12||2||PF PF =结合双曲线定义求长度是解题的关键，属于基础题. 13．48 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求得点A 、B 的坐标，进而可得出P 、Q 的坐标，由此可计算得出梯形APQB 的面积. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点A 在第一象限，由图象可知12x x >，联立234y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得21090x x -+=，解得19x =，21x =，1196x y =⎧∴⎨=⎩或2212x y =⎧⎨=-⎩， 所以点()9,6A 、()1,2B -、()1,6P -、()1,2Q --，10AP ∴=，2BQ =，8PQ =，因此，梯形APQB 的面积为()()10284822AP BQ PQ S +⋅+⨯===.故答案为：48. 【点睛】本题考查抛物线中梯形面积的计算，解题的关键就是求出直线与抛物线的交点坐标，考查计算能力，属于中等题. 14．1022,,33⋃⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】令()()=-g x f x k ，原题等价于()g x 只有一个零点，利用()g x 的导数研究其单调性，从而可以判断出k 的范围. 【详解】令()()=-g x f x k ，所以()g x 只有一个零点，因为2()()4g x f x x ''==-，所以令()0g x '=，解得2x =或2x =-，()'g x ，()g x 随x 的变化情况如下表：()g x 有且仅有一个零点等价于(2)0g -<或(2)0g >，所以88203k -++-<或88203k -+->，解得223k >或103k <-. 故答案为：1022,,33⋃⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，属于中档题.15．,p q p ⌝∨【解析】∵若0ab =，则0a =或0b =，即0a =不成立；故命题p ：0ab =是0a =的充分条件，为假命题；∵函数y =[)3,+∞，∴命题q 为真命题；由复合命题真值表得：非p 为真命题；p q ∨为真命题；p q ∧假命题，故答案为,p q p ⌝∨.点睛：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，其中判断出命题p 与命题q 的真假，是解答本题的关键，对复合命题真值表要牢记；根据充要条件的定义及函数定义域的求法，我们先判断出命题p 与命题q 的真假，再根据复合命题真值表，逐一判断题目中三个命题的真假，即可得到答案. 16．①③. 【分析】命题①判断命题p,q 的真假，从而可得()p q ∧⌝的真假；命题②当a ＝b ＝0时，两条直线垂直，不满足3ab=-说明错误；命题③由否命题的定义判断即可. 【详解】对于①，命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝2为真命题，∵221110224x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，∴命题q 为真命题，则￢q 是假命题．∴命题“p ∧（￢q ）”是假命题．命题①正确；对于②，直线l 1：ax +3y ﹣1＝0，l 2：x +by +1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a +3b ＝0， 当b ＝0时“ab”无意义．命题②错误； 对于③，“设a 、b ∈R ，若ab ≥2，则a 2+b 2＞4”的否命题为：“设a 、b ∈R ，若ab ＜2，则a 2+b 2≤4”．命题③正确． ∴正确结论的序号为①③． 故答案为①③ 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查命题否命题的写法和复合命题的真假性判断，考查由直线的一般方程判断两条直线的垂直关系，是中档题． 17．（1）51,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析：（1）真数大于0，则512t <<；（2）若p 是q 的充分条件，则p 是q 的解集的子集，所以只需522a +≥，解得12a ≥. 试题解析：（1）因为命题p 为真，则对数的真数22750t t -+->，解得512t <<. 所以实数t 的取值范围是51,2⎛⎫⎪⎝⎭. （2）因为命题p 是q 的充分条件，所以512t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭是不等式()()2320t a t a -+++<的解集的子集.因为方程()()2320t a t a -+++=的两根为1和2a +，所以只需522a +≥，解得12a ≥. 即实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18．（1）22143x y +=；（2）证明见详解. 【分析】(1)根据2120BF A ∠=︒结合余弦定理以及椭圆方程的参数关系222a b c =+列方程组可得2a c =，b =，又△2ABFa 、b 、c ，进而得到椭圆的标准方程；(2) 设()11,M x y ，()22,N x y ，根据直线MN 的斜率是否存在分两种情况讨论O 到直线MN 的距离：当斜率不存在1x 即为O 到直线MN 的距离，有11y x =代入椭圆方程即可确定距离；当斜率存在时，结合直线MN 方程y kx m =+和椭圆方程，消y 利用韦达定理用k 、m 表示12x x +、12x x ，最后由OM ON ⊥结合向量垂直的坐标公式化简可得()227121m k =+，而O 到直线MN的距离公式d =只要上述两情况距离相等即可证点O 到直线MN 的距离为定值 【详解】 （1）由题意知：2222222()()1cos1202()2a b c a a c a b a a c ⎧=+⎪⎨+--+︒==-⎪-⎩解得：2a c =，b =22 1(2)2(21)ABF S c c a c b -==⨯-==△ ∴1c =，2a =，b =∴椭圆的标准方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y1、当直线MN 的斜率不存在时，MN x ⊥轴，此时△MNO 为等腰直角三角形∴11y x =，又2121143y x +=解得17x ==，即点O 到直线MN的距离d =2、当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx m =+，与椭圆22143x y+=联立消去y ，得()2223484120kxkmx m +++-=∴122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+∵OM ON ⊥，有12120x x y y +=∴()()12120x x kx m kx m +++=，即()()22121210k x x km x x m ++++=，∴()22222224128103434m k m k m k k-+-+=++，整理得()227121m k =+， ∴点O 到直线MN的距离7d === 综上，点O 到直线MN的距离为定值7【点睛】本题考查了椭圆曲线，已知焦点、短轴和长轴端点构成的三角形面积及相关夹角求椭圆标准方程；及应用直线与椭圆的位置关系，结合向量垂直的坐标公式证明点线距为定值 19．（1）()1,+∞；（2）. 【解析】试题分析：（1）运用导数的知识求解；（2）借助题设条件和导数在研究函数最值中的运用求解. 试题解析:（1）解：()()2121210x x f x x x x x-+'+=-+=>，由()0f x '<，得2210x x -->，又0x >，所以1x >． 所以()f x 的单调递减区间为()1,+∞．（2）解：令()()()()2ln 121g x f x h x x ax a x =-=-+-+，所以()()()221211212ax a x g x ax a x x-+-+=-+-='．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>， 所以()g x 在()0,+∞上是递增函数，又因为()()21ln11121320g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()()2121f x a x ax ≤-+-不能恒成立当0a >时，()()()212121212a x x ax a x a g x x x⎛⎫-+ ⎪-+-+⎝⎭==-'， 令()0g x '=，得12x a=， 所以当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，因此函数()g x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭是增函数，在1,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭是减函数． 故函数()g x 的最大值为11ln 224g a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()1ln 24F a a a=-， 因为()1110,1ln 20224F F ⎛⎫=>=-<⎪⎝⎭， 又()F a 在()0,a ∈+∞是减函数． 所以当1a ≥时，()0F a <， 所以整数a 的最小值为1．考点：导数在研究函数的最值中的运用．【易错点晴】函数是高中数学的核心内容,也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时,一定要先求导,再对求导后的导函数的解析式进行变形（因式分解或配方）,其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号,以便确定其单调性,这是解答这类问题容易忽视的.本题第二问的求解过程则先预见函数在区间()0,a ∈+∞上单调递减,再运用分析转化的思维方式进行推证,最后求出a 的最小值.20．（1）2213x y -=；（2）3331,,,13333⎛⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）首先根据离心率可以得到a 与b 的关系是223a b ，应用此关系将双曲线方程化简，接下来将点P 的坐标代入方程，整理后即可得到曲线C 的方程；（2）联立直线l 与双曲线C 的方程，消去y 项，可以得到关于x 的一元二次方程，直线与双曲线有两个不同的交点，则关于x 的一元二次方程有两个不相等的解，于是可得关于k 的不等式组，通过解不等式组求出k 的取值范围. 【详解】（1）由3e =2243c a =，所以223a b ，故双曲线方程可化为222213x y b b-=，将点P 代入双曲线C 的方程，解得21b =，所以双曲线C 的方程为2213x y -=；（2）联立直线与双曲线方程，22330y kx x y ⎧=+⎪⎨--=⎪⎩()221390k x ⇒---=， 由题意得，()2227213(9)0130k k k ⎧∆=--⨯->⎪⎨-≠⎪⎩， 解得11k -<<且3k ≠±，所以k 的取值范围为3331,,,13333⎛⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求法，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 21．（1）24y x =．（2）84,55N ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）抛物线y 2=2px 的准线为x=﹣2p ，于是4+2p=5，由此能求出抛物线方程．（2）点A 的坐标是（4，4），由题意得B （0，4），M （0，2），F （1，0），从而43FA k =，由MN ⊥FA ，34MN k =-，由此能求出直线MN 的方程． 解析：（1）抛物线22y px =的准线为2p x =-，于是452p+=，所以2p =，所以抛物线方程为24y x =．（2）由（1）知点A 的坐标是()4,4，由题意得()0,4B ，()0,2M ． 又因为()1,0F ，所以43FA k =， 因为MN FA ⊥，所以34MN k =-，所以FA 的方程为()413y x =-，① MN 的方程为32,4y x =-+② 由①②联立得85x =，45y =，所以N 的坐标为84,55⎛⎫⎪⎝⎭． 点睛：本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．一般和抛物线有关的题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化． 22．（1）54a =；（2）当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭；（3）当441a e e ≤<时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点；当0a <或1a e>时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点； 当440a e ≤<或1a e=时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点 【解析】试题分析：（1）对()f x 求导，令()f x 在点()()22f ,处的导数等于直线210x y -+=的斜率即可求得a 的值；（2）由（1）知()211ax f x ax x x ='-=-对()f x 求导，分0a ≤和0a >讨论即可得到函数()f x 的单调区间；（3）由（2）可知()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上单调的单调性，分0a <，0a =及0a >的1≤，②21e <<，③ 2e ≥诸情况讨论即可得到函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上零点的个数情况.试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()22111ln 2ax f x x ax f x ax x x-=-∴=-=' 由于直线210x y -+=的斜率为12，11451,224a a -∴⨯=-∴= （2）由（1）知()211ax f x ax x x='-=- 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在()0,+∞上单调递增当0a >时，由()0f x '>，得x <，由()0f x '<，得x >()f x ∴在⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减综上所述：当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭（3）由（2）可知当0a <时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()1102f a =->，()f x ∴在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点 当0a =时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()1102f a =-=，()f x ∴在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点当0a >时，①1≤即1a ≥时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减，()1102f a =-<()f x ∴在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点②若21e <<，即411a e <<时，()f x 在⎡⎢⎣上单调递增，在2e ⎤⎥⎦上单调递减 ，()1102f a =-<，()24111ln ,2222f a f e ae =--=- 若11ln 022a --<，即1a e>时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点 若11ln 022a --=，即1a e=时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点 若11ln 022a -->，即1a e <时，由()241202f e ae =->得44a e <，此时()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点由()241202f e ae =-≤得44a e≥，此时()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点③2e ≥即410a e <≤时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()()241110,2022f a f e ae =->=->，()f x ∴在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点 综上所述，当440a e ≤<或1a e=时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有一个零点 当441a e e≤<时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上有两个零点 当0a <或1a e >时，()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上没有零点 考点：利用导数研究函数的性质。