苏教版初三九年级上册数学压轴解答题（Word版含解析）一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，直线1l：162y x=-+分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线2l：12y x=交于点A.（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）若D是线段OA上的点，且COD△的面积为12，求直线CD的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内里否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.2．阅读理解：如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．解决问题：（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)①ABM；②AOP；③ACQ（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积为12，求k的值．（3）点B在x轴上，以B3为半径画⊙B，若直线3与⊙B的“最美三角形”的面积小于32，请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围．3．数学概念若点P 在ABC ∆的内部，且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等，则称P 是ABC ∆的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称P 是ABC ∆的“强等角点”. 理解概念（1）若点P 是ABC ∆的等角点，且100APB ∠=，则BPC ∠的度数是 . （2）已知点D 在ABC ∆的外部，且与点A 在BC 的异侧，并满足180BDC BAC ∠+∠<，作BCD ∆的外接圆O ，连接AD ，交圆O 于点P .当BCD ∆的边满足下面的条件时，求证：P 是ABC ∆的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，DB DC = ②如图②，BC BD =深入思考（3）如图③，在ABC ∆中，A ∠、B 、C ∠均小于120，用直尺和圆规作它的强等角点Q .（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法： ①直角三角形的内心是它的等角点； ②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点； ③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有 .（填序号）4．翻转类的计算问题在全国各地的中考试卷中出现的频率很大，因此初三（5）班聪慧的小菲同学结合2011年苏州市数学中考卷的倒数第二题对这类问题进行了专门的研究。

你能和小菲一起解决下列各问题吗？（以下各问只要求写出必要的计算过程和简洁的文字说明即可。

）（1）如图①，小菲同学把一个边长为1的正三角形纸片（即△OAB ）放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重合，然后将三角形纸片向右翻转一周回到初始位置，求顶点O 所经过的路程；并求顶点O 所经过的路线；图①（2）小菲进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线l 2上，OA 边与直线l 2重合，然后将正方形纸片向右翻转若干次．她提出了如下问题：图②问题①：若正方形纸片OABC 接上述方法翻转一周回到初始位置，求顶点O 经过的路程； 问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是41202π+。

（3）①小菲又进行了进一步的拓展研究，若把这个正三角形的一边OA 与这个正方形的一边OA 重合（如图3），然后让这个正三角形在正方形上翻转，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB 的相对位置和初始时一样），求顶点O 所经过的总路程。

图③②若把边长为1的正方形OABC 放在边长为1的正五边形OABCD 上翻转（如图④），直到正方形第一次回到初始位置，求顶点O 所经过的总路程。

图④（4）规律总结，边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的___________。

5．平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2y x bx c =-++的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标； （3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．6．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米24.565.8465.844.562…（2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足(256y a x k =-+①用含a 的代数式表示k ；②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与直线y ＝x +3交于点A （m ，0）和点B （2，n ），与y 轴交于点C ．（1）求m ，n 的值及抛物线的解析式；（2）在图1中，把△AOC 平移，始终保持点A 的对应点P 在抛物线上，点C ，O 的对应点分别为M ，N ，连接OP ，若点M 恰好在直线y ＝x +3上，求线段OP 的长度； （3）如图2，在抛物线上是否存在点Q （不与点C 重合），使△QAB 和△ABC 的面积相等？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC ，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N ．请问DM +DN 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P 为抛物线上一动点，且满足∠PAB ＝2∠ACO ．求点P 的坐标． 9．如图，抛物线2)12(0y ax x c a =-+≠交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C ．直线122y x =-经过点,B C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上一动点，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于M ．设点P 的横坐标是t ．①当PCM ∆是直角三角形时，求点P 的坐标；②当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，求直线解析式y kx b =+（,k b 可用含t 的式子表示）．10．()1尺规作图1：已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．()2特例思考：如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.()3拓展应用：如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．11．如图1，ABC ∆是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是弧AC 上异于,A C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F . （1）求证：ADB CDE ∠=∠；（2）若7BD =，3CD =，①求AD DE •的值；②如图2，若AC BD ⊥，求tan ACB ∠；（3）若5tan 2CDE ∠=，记AD x =，ABC ∆面积和DBC ∆面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数关系式.12．如图，正方形ABCD 中，点O 是线段AD 的中点，连接OC ，点P 是线段OC 上的动点，连接AP 并延长交CD 于点E ，连接DP 并延长交AB 或BC 于点F ， （1）如图①，当点F 与点B 重合时，DEDC等于多少； （2）如图②，当点F 是线段AB 的中点时，求DEDC的值； （3）如图③，若DE CF =，求DEDC的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1)A(6，3)，B(12，0)，C(0，6)；(2)y=-x+6；(3)满足条件的Q 点坐标为：(-3，3)或22)或(6，6). 【解析】 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特点，可求出B,C 两点坐标.两个函数解析式联立形成二元一次方程组，可以确定A 点坐标.（2）根据坐标特点和已知条件，采用待定系数法，即可作答.（3）在（2）的条件下，设P 是射线CD 上的点，在平面内存在点Q ，使以O 、C 、P 、2为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形OP 1Q 1C 为菱形时，由∠COP1=90°，得到四边形OP1Q1C为正方形；②当四边形OP2CQ2为菱形时；③当四边形OQ3P3C为菱形时；分别求出Q坐标即可.【详解】解：(1)由题意得16212y xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得63 xy=⎧⎨=⎩∴A(6，3)在y=-162x+中，当y=0时，x=12，∴B(12，0)当x=0时，y=6，∴C(0，6).(2)∵点D在线段OA上，∴设D(x，12x) (0≤x≤6)∵S△COD=12∴12×6x=12x=4∴D(4，2)，设直线CD的表达式为y=kx+b，把(10，6)与D(4，2)代入得624bk b=⎧⎨=+⎩解得16 kb=-⎧⎨=⎩直线CD的表达式为y=-x+6(3) 存在点2，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：①当四边形OP 1Q 1C 为菱形时OC==OP 1，由∠COP 1=90°，得到四边形OP 1Q 1C 为正方形，此时Q 1P 1=OP 1=OC=6，即Q:（6，6）；② 当四边形OP 2CQ 2为菱形时，OP 2=CP 2 ，由C 坐标为（0，6），得到Q 2纵坐标为3，把y=3代入直线OQ 2解析式y=-x 中，得：x=-3，此时Q 2（-3，3）；③当四边形0Q 3P 3C 为菱形时，OC=CP 3，则有OQ 3=OC=CP 3=P 3Q 3=6，设坐标为（x ，-x+6）， ∵OC=CP 3∴x 2+x 2= CP 32= OC 2=62解得，x=32，P 的坐标为 (32，6-32) 此时Q 3 (32，-32).综上，点Q 的坐标是(-3，3)或(32，-32)或(6，6). 【点睛】本题是一次函数、勾股定理、特殊的平行四边形的综合应用，是一道压轴题，在考试中第一问必须作答，二三问可以根据自己的情况进行取舍. 2．（1）②；（2）±1；（3）23-＜B x ＜33或733-＜B x ＜23-- 【解析】 【分析】（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．（2）本题根据k 的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF ，利用勾股定理求解AF ，进一步确定∠AOF 度数，最后利用勾股定理确定点F 的坐标，利用待定系数法求k ．（3）本题根据⊙B 在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB 的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND ，△BMN 为媒介计算BD 长度，最后与OD 相减求解点B 的横坐标范围． 【详解】（1）如下图所示：∵PM 是⊙O 的切线， ∴∠PMO=90°，当⊙O 的半径OM 是定值时，22PM OP OM =-∵1=2PMOSPM OM ••， ∴要使PMO △面积最小，则PM 最小，即OP 最小即可，当OP ⊥l 时，OP 最小，符合最美三角形定义．故在图1三个三角形中，因为AO ⊥x 轴，故△AOP 为⊙A 与x 轴的最美三角形． 故选：②．（2）①当k ＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM ⊥x 轴，如下所示：按题意可得：△AEF 是直线y=kx 与⊙A 的最美三角形，故△AEF 为直角三角形且AF ⊥OF ． 则由已知可得：111=1222AEFSAE EF EF ••=⨯⨯=，故EF=1． 在△AEF 中，根据勾股定理得：22AF AE ==．∵A(0,2)，即OA=2，∴在直角△AFO 中，22=2OF OA AF AF -==， ∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)， 将F 点代入y=kx 可得：1k =-． ②当k ＞0时，同理可得k=1． 故综上：1k =±．（3）记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ，则(3,0)D -，(0,3)C ， ①当⊙B 在直线CD 右侧时，如下图所示：在直角△COD 中，有3OC =，3OD =tan 3OCODC OD∠==ODC=60°． ∵△BMN 是直线33y x =+与⊙B 的最美三角形， ∴MN ⊥BM ，BN ⊥CD ，即∠BND=90°，在直角△BDN 中，sin BNBDN BD∠=，故==sin sin 60?3BN BN BD BN BDN =∠．∵⊙B ，∴BM =．当直线CD 与⊙B 相切时，BN BM ==因为直线CD 与⊙B 相离，故BN BD ＞2，所以OB=BD-OD ＞2．由已知得：11=222BMNSMN BM MN MN ••=•=＜2，故MN ＜1．在直角△BMN 中，BN ==，此时可利用勾股定理算得BD OB BD OD =- -则2＜B x②当⊙B 在直线CD 左侧时，同理可得：B x＜2-故综上：2＜B x ＜3或3-＜B x ＜2- 【点睛】本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．3．（1）100、130或160；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤ 【解析】 【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明； ②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可． 【详解】（1）（i ）若APB ∠=BPC ∠时， ∴BPC ∠=APB ∠=100° （ii ）若BPC CPA ∠=∠时，∴12BPC CPA ∠=∠=（360°－APB ∠）=130°； （iii ）若APB ∠=CPA ∠时，BPC ∠=360°－APB ∠－CPA ∠=160°， 综上所述：BPC ∠=100°、130°或160° 故答案为：100、130或160． （2）选择①： 连接,PB PC∵DB DC = ∴=DB DC ∴BPD CPD ∠=∠∵180APB BPD ∠+∠=，180APC CPD ∠+∠= ∴APB APC ∠=∠ ∴P 是ABC ∆的等角点． 选择② 连接,PB PC ∵BC BD = ∴BC BD = ∴BDC BPD ∠=∠∵四边形PBDC 是圆O 的内接四边形， ∴180BDC BPC ∠+∠= ∵180BPD APB ∠+∠= ∴BPC APB ∠=∠ ∴P 是ABC ∆的等角点（3）作BC 的中垂线MN ，以C 为圆心，BC 的长为半径作弧交MN 与点D ，连接BD ， 根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC∴△BCD 为等边三角形 ∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60° 作CD 的垂直平分线交MN 于点O以O 为圆心OB 为半径作圆，交AD 于点Q ，圆O 即为△BCD 的外接圆 ∴∠BQC=180°－∠BDC=120° ∵BD=CD ∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=12（360°－∠BQC ）=120° ∴∠BQA=∠CQA=∠BQC 如图③，点Q 即为所求．（4）③⑤．①如下图所示，在RtABC 中，∠ABC=90°，O 为△ABC 的内心假设∠BAC=60°，∠ACB=30° ∵点O 是△ABC 的内心 ∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=12∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=12∠ACB=15° ∴∠AOC=180°－∠CAO －∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO －∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO －∠BCO=120° 显然∠AOC ≠∠AOB ≠∠BOC ，故①错误；②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误； ③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；④由（3）可知，点Q 为△ABC 的强等角，但Q 不在BC 的中垂线上，故QB ≠QC ，故④错误；⑤由（3）可知，当ABC ∆的三个内角都小于120时，ABC ∆必存在强等角点Q ．如图④，在三个内角都小于120的ABC ∆内任取一点'Q ，连接'Q A 、'Q B 、'Q C ，将'Q AC ∆绕点A 逆时针旋转60到MAD ∆，连接'Q M ，∵由旋转得'Q A MA =，'Q C MD =，'60Q AM ∠= ∴'AQ M ∆是等边三角形．∴''Q M Q A =∴'''''Q A Q B Q C Q M Q B MD++=++∵B、D是定点，∴当B、'Q、M、D四点共线时，''Q M Q B MD++最小，即'''Q A Q B Q C++最小．而当'Q为ABC∆的强等角点时，'''120AQ B BQ C CQ A AMD∠=∠=∠==∠，此时便能保证B、'Q、M、D四点共线，进而使'''Q A Q B Q C++最小．故答案为：③⑤．【点睛】此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．4．(1)43π；（222+，81；（3）283π1892+；（4）最小公倍数.【解析】试题分析：（1）根据正三角形的性质及弧长公式求出点A绕点B、点C旋转的两段弧长相加即可．(2)①根据正方形旋转一周的路径，利用弧长计算公式以及扇形面积公式求出即可，②再利用正方形纸片OABC经过4次旋转得出旋转路径，进而得出4120220(22)222ππ+=+，即可得出旋转次数．(3)方法同（2）；（4）边长相等的两个正多边形，其中一个在另一个上翻转，当翻转后第一次回到初始位置时，该正多边形翻转的次数一定是两正多边形边数的最小公倍数.试题解析：（1）∵点A所经过的这两段弧所在圆的半径为1，所对圆心角均为120度∴点A所经过的路线长为1201421803ππ⨯⨯=.（2）①顶点O经过的总路线长为：901902222218018022⋅+⨯+=+=πππππ②由①：每翻转一周顶点O经过的总路线长为：π222+4122022++÷=πππ即翻转20周后再翻一次，共翻81次.（3）①每翻三次翻一周，顶点O 所经过的总路线长为：2101721803⋅⨯=ππ共翻四周回到初始位置，所以顶点O 所经过的总路线长为:728433⨯=ππ. ②每翻四次翻一周，顶点O 所经过的总路线长为:16211628121801804510⋅⨯+=+πππ 共翻5周回到初始位置，所以顶点O 所经过的总路线长为：81545⨯=π（（4）最小公倍数 考点: 1.旋转的性质；2.等边三角形的性质；3.正方形的性质；4.弧长的计算； 5．（1）2y x 2x 3=-++；（2）3(1,)2；（3）14m <≤或78m = 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出点B 的坐标，将点B 、C 的坐标分别代入二次函数解析式，求出b 、c 的值即可．（2）在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，要使得EAB 的周长最小，即要使EB+EA 的值最小，即要使EA+EC 的值最小，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最小，求出直线AC 的解析式，最后求出直线AC 与对称轴的交点坐标即可．（3）求出直线CD 以及射线BD 的解析式，即可得出平移后顶点的坐标，写出二次函数顶点式解析式，分类讨论，如图：①当抛物线经过点B 时，将点B 的坐标代入二次函数解析式，求出m 的值，写出m 的范围即可；②当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得关于x 的一元二次方程，要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点，即要使一元二次方程有两个相等的实数根，即0∆=，列式求出m 的值即可． 【详解】 （1）矩形OABC ，∴OC=AB ，A(2，0)，C(0，3)，∴OA=2，OC=3， ∴B(2，3)，将点B ，C 的坐标分别代入二次函数解析式，4233b c c -++=⎧⎨=⎩，∴23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++．（2）如图，在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最小，即EAB 的周长最小， 设直线解析式为：y =kx +b ， 将点A 、C 的坐标代入可得：203k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：323k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为：3=32y x -+． 2y x 2x 3=-++=2(1)4x -+-， ∴D(1，4)，令x =1，y =332-+=32． ∴E(1，32)．（3）设直线CD 解析式为：y =kx +b ， C(0，3)，D(1，4)，∴43k b b +=⎧⎨=⎩,解得13k b =⎧⎨=⎩，∴直线CD 解析式为：y =x +3，同理求出射线BD 的解析式为：y =－x +5(x ≤2)， 设平移后的顶点坐标为(m ，m +3)， 则抛物线解析式为：y =－(x －m )2+m +3， ①如图，当抛物线经过点B 时， －(2－m )2+m +3=3， 解得m =1或4，∴当1<m ≤4时， 平移后的抛物线与射线只有一个公共点；②如图，当抛物线与射线恰好只有一个公共点H 时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得：－(x －m )2+m +3=－x +5， 即x 2－(2m +1)x +m 2－m +2=0，要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点， 即要使一元二次方程有两个相等的实数根，∴22[(21)]4(2)0m m m ∆=-+⨯-+=－，解得78m =． 综上所述，14m <≤或78m =时，平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点．【点睛】本题为二次函数、一次函数与几何、一元二次方程方程综合题，一般作为压轴题，主要考查了图形的轴对称、二次函数的平移、函数解析式的求解以及二次函数与一元二次方程的关系，本题关键在于：①将三角形的周长最小问题转化为两线段之和最小问题，利用轴对称的性质解题；②将二次函数与一次函数的交点个数问题转化为一元二次方程实数根的个数问题．6．（1）10；（2）1056+米；（3）①100k a =-；②不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用表格中数据直接得出网球达到最大高度时的时间及最大值； （2）首先求出函数解析式，进而求出网球落在地面时，与端点A 的水平距离； （3）①由（2）得网球落在地面上时，得出对应点坐标，代入计算即可； ②由球网高度及球桌的长度可知其扣杀路线解析式为110y x =，若要击杀则有(215610010a x a x --=，根据有唯一的击球点即该方程有唯一实数根即可求得a 的值，继而根据对应x 的值取舍可得． 【详解】 （1）由表格中数据可得4t =，（秒），网球达到最大高度，最大高度为6；（2）以A 为原点，以球场中线所在直线为x 轴，网球发出的方向为x 轴的正方向，竖直运动方向为y 方向，建立平面直角坐标系．由表格中数据，可得y 是x 的二次函数，且顶点坐标为(10，6)， 可设2(10)6y m x =-+，将（0，2）代入，可得：125m =-， ∴21(10)625y x =--+，当0y =，得10x =±(负值舍去)，∴网球落在地面上时，网球与端点A 的距离为10+米；（3）①由（2）得网球落在地面上时，对应的点为(10+，0)代入(2y a x k =-+，得100k a =-；②不存在．∵网高1.2米，球网到A 的距离为24122=米， ∴扣杀路线在直线经过（0，0）和（12，1.2）点，∴扣杀路线在直线110y x =上，令(2110010a x a x --=，整理得：2150010ax x a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 当0=时符合条件，221106200010a a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得1a =，2a =．开口向下，0a ＜， ∴1a ，2a 都可以，将1a ，2a 分别代入(2110010a x a x --=，得到得解都是负数，不符合实际． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．7．（1）y ＝x 2+2x ﹣3，m ＝﹣3，n ＝5；（2）3）存在；Q 点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5），理由见解析 【解析】 【分析】（1）把点A （m ，0）和点B （2，n ）代入直线y ＝x +3，解得：m ＝﹣3，n ＝5，A （﹣3，0）、B （2，5），把A 、B 坐标代入抛物线解析式即可求解；（2）由平移得：PN ＝OA ＝3，NM ＝OC ＝3，设：平移后点P （t ，t 2+2t ﹣3），则N （t +3，t 2+2t ﹣3），M （t +3，t 2+2t ﹣6），根据点M 在直线y ＝x +3上，即可求解；（3）存在．设：直线AB 交y 轴于D （0，3），点C 关于点D 的对称点为C ′（0，9）按照△QAB 和△Q ′AB 和△ABC 的面积相同即可求解． 【详解】解：（1）把点A （m ，0）和点B （2，n ）代入直线y ＝x +3，解得：m ＝﹣3，n ＝5， ∴A （﹣3，0）、B （2，5），把A 、B 坐标代入抛物线解析式，解得：a ＝1，b ＝2， ∴抛物线解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3…①， 则C （0，﹣3）；（2）由平移得：PN ＝OA ＝3，NM ＝OC ＝3，设：平移后点P （t ，t 2+2t ﹣3），则N （t +3，t 2+2t ﹣3）， ∴M （t +3，t 2+2t ﹣6），∵点M 在直线y ＝x +3上， ∴t 2+2t ﹣6＝t +3+3，解得：t ＝3或﹣4， ∴P 点坐标为（3，12）或（﹣4，5）， 则线段OP 的长度为：317或41； （3）存在．设：直线AB 交y 轴于D （0，3），点C 关于点D 的对称点为C ′（0，9）过点C 和C ′分别做AB 的平行线，交抛物线于点Q 、Q ′， 则：△QAB 和△Q ′AB 和△ABC 的面积相同，直线QC 和Q ′C 的方程分别为：y ＝x ﹣3和y ＝x +9…②， 将①、②联立，解得：x ＝﹣1或x ＝3或x ＝﹣4， ∴Q 点坐标为（﹣1，﹣4）或（3，12）或（﹣4，5）． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8．（1）223y x x =+-；（2）是，定值为8；（3）1557,416⎛⎫-⎪⎝⎭或939,416⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）把点A 、C 坐标代入抛物线解析式即可求得b 、c 的值．（2）设点Q 横坐标为t ，用t 表示直线AQ 、BN 的解析式，把x ＝1-分别代入即求得点M 、N 的纵坐标，再求DM 、DN 的长，即得到DM +DN 为定值．（3）点P 可以在x 轴上方或下方，需分类讨论．①若点P 在x 轴下方，延长AP 到H ，使AH ＝AB 构造等腰△ABH ，作BH 中点G ，即有∠PAB ＝2∠BAG ＝2∠ACO ，利用∠ACO 的三角函数值，求BG 、BH 的长，进而求得H 的坐标，求得直线AH 的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．②若点P 在x 轴上方，根据对称性，AP 一定经过点H 关于x 轴的对称点H '，求得直线AH '的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P 坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （1，0），C （0，－3），∴10003b c c ++=⎧⎨++=-⎩解得：23b c =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3．（2）结论：DM +DN 为定值．理由：∵抛物线y ＝x 2＋2x －3的对称轴为：直线x ＝－1，∴D （﹣1，0），x M ＝x N ＝﹣1，设Q （t ，t 2+2t ﹣3）（﹣3＜t ＜1），设直线AQ 解析式为y ＝dx +e∴2023d e dt e t t +=⎧⎨+=+-⎩解得：33d te t =+⎧⎨=--⎩， ∴直线AQ ：y ＝（t +3）x ﹣t ﹣3，当x ＝﹣1时，y M ＝﹣t ﹣3﹣t ﹣3＝﹣2t ﹣6，∴DM ＝0﹣（﹣2t ﹣6）＝2t +6，设直线BQ 解析式为y ＝mx +n ，∴23023m n mt n t t -+=⎧⎨+=+-⎩解得：133m t n t =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BQ ：y ＝（t ﹣1）x +3t ﹣3，当x ＝﹣1时，y N ＝﹣t +1+3t ﹣3＝2t ﹣2，∴DN ＝0﹣（2t ﹣2）＝﹣2t +2，∴DM +DN ＝2t +6+（﹣2t +2）＝8，为定值．（3）①若点P 在x 轴下方，如图1，延长AP 到H ，使AH ＝AB ，过点B 作BI ⊥x 轴，连接BH ，作BH 中点G ，连接并延长AG 交BI 于点F ，过点H 作HI ⊥BI 于点I ．∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴B（﹣3，0），∵A（1，0），C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，AC221310+=AB＝4，∴Rt△AOC中，sin∠ACO＝01010AAC=，cos∠ACO＝31010OCAC=，∵AB＝AH，G为BH中点，∴AG⊥BH，BG＝GH，∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠BAG＝∠ACO，∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG＝10 BGAB=，∴BG＝1010 105AB=，∴BH＝2BG＝105，∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO，∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI＝HIBH10，cos∠HBI＝310BIBH=，∴HI 10BH＝43，BI310BH＝125，∴x H＝411355-+=-，y H＝125-，即1112,55H⎛⎫--⎪⎝⎭，设直线AH解析式为y＝kx+a，∴0 1112 55 k ak a+=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得：3434ka⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AH：3344y x=-，∵2334423y xy x x⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩解得：1xy=⎧⎨=⎩（即点A）或943916xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴939,416P⎛⎫--⎪⎝⎭．②若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称．∴1112,55H⎛'⎫-⎪⎝⎭，设直线AH'解析式为y k x a='+'，∴111255k ak a+='''⎧-'⎪⎨+=⎪⎩，解得：3434ka⎧=-⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，∴直线AH'：3344y x=-+，∵2334423y xy x x⎧=-+⎪⎨⎪=+-⎩解得：1xy=⎧⎨=⎩（即点A）或1545716xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1557,416P⎛⎫-⎪⎝⎭．综上所述，点P的坐标为939,416⎛⎫--⎪⎝⎭或1557,416⎛⎫-⎪⎝⎭．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．运用到分类讨论的数学思想，理清线段之间的关系为解题关键．9．（1）211242y x x =--；（2）①P (2，−2)或(-6，10)，②1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++ 【解析】【分析】（1）利用一次函数与坐标轴交点的特征可求出点B ，C 的坐标，根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式；（2）①由PM ⊥x 轴可得出∠PMC≠90°，分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑： （i ）当∠MPC=90°时，PC //x 轴，利用二次函数可求出点P 的坐标；（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ，易证△BOC ∽△COD ，利用相似三角形的性质可求出点D 的坐标，根据点C ，D 的坐标，利用待定系数法可求出直线PC 的解析式，联立直线PC 和抛物线的解析式，通过解方程组可求出点P 的坐标； ②在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线，分开求解三条中位线方程即可求解．【详解】解：（1）因为直线交抛物线于B 、C 两点，∴当x =0时，y =12x −2=−2， ∴点C 的坐标为(0，−2)；当y =0时，12x −2=0， 解得：x =4，∴点B 的坐标为(4，0)．将B 、C 的坐标分别代入抛物线，得：2144022a c c ⎧⨯-⨯+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：142a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴抛物线的解析式为211242y x x =--． （2）①∵PM ⊥x 轴，M 在直线BC 上，∴∠PMC 为固定角且不等于90，∴可分两种情况考虑，如图1所示：（i ）当∠MPC=90时，PC //x 轴，∴点P 的纵坐标为﹣2，将y p =-2，代入抛物线方程可得：2112242x x --=-解得： x 1=2，x 2=0（为C 点坐标，故舍去），∴点P 的坐标为(2，−2)；（ii ）当∠PCM=90°时，设PC 与x 轴交于点D ，∵∠OBC+∠OCB=90°，∠OCB+∠OCD=90°，∴∠OBC=∠OCD ，又∵∠BOC=∠COD=90°，∴BOC ∽COD （AAA ）， ∴OD OC OC OB =，即OD=2OC OB， 由（1）知，OC=2，OB=4，∴OD=1，又∵D 点在X 的负半轴∴点D 的坐标为(-1，0)，设直线PC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 是常数)，将C(0，−2)，D(-1，0)代入直线PC 的解析式，得：20b k b =-⎧⎨-+=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线PC 的解析式为y =-2x −2，联立直线PC 和抛物线方程，得：22122142x x x -=---， 解得：x 1=0，y 1=−2，x 2=-6，y 2=10，点P 的坐标为(-6，10)，综上所述：当PCM 是直角三角形时，点P 的坐标为(2，−2)或(-6，10)；②如图2所示，在ACM 中，如果存在直线使A 、C 、M 到该直线距离相等，则该直线应为ACM 的中位线；（a ）当以CM 为底时，过A 点做CM 的平行线AN ，直线AN 平行于CM 且过点A ，则斜率为12，AN 的方程为：1(+2)2y x =，则中位线方程式为：1122y x =-； （b ）当以AM 为底时，因为M 为P 点做x 轴垂线与CB 的交点，则M 的横坐标为t ，且在直线BC 上，则M 的坐标为：1,22M t t -（），其中4t >，则AM 的方程为：44+242t t y x t t --=++，过C 点做AM 的平行线CQ ，则CQ 的方程为：4224t y x t -=-+ ，则中位线方程式为：4412424t t y x t t --=+-++； （c ）当以AC 为底时，AC 的方程式为：2y x =--，由b 可知M 的坐标为：1,22M t t -（），过M 做AC 的平行线MR ，则MR 的方程为：322y x t =-+-，则中位线方程式为：324y x t =-+-； 综上所述：当点P 在点B 右侧时，存在直线l ，使点,,A C M 到该直线的距离相等，直线解析式为：1122y x =-或324y x t =-+-或4412424t t y x t t --=+-++． 【点睛】本题考查了一次函数坐标轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质以及平行线的性质等，解题的关键是掌握三角形的顶点到中位线的距离相等．10．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222或222x <<【解析】【分析】 ()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；()3分三种情形讨论求解即可．【详解】解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：故答案为2，2．()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，1OP N 是等腰直角三角形，1ON 2NP 22∴==，OM ON MN 222∴=-=-，此时有3个P 点．③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点，如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．此时OM 22=，综上所述，当2x 22<<3个P 点．∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．(1)证明见解析；（2）①215（3）21029y x =【解析】【分析】 ()1由圆内接四边形性质知ABC CDE ∠∠=，由AB AC =知ABC ACB ∠∠=，从而得ADB ACB ABC CDE ∠∠∠∠===；()2①由BAD DCE ∠∠=，ADB CDE ∠∠=可证ADB ∽CDE.从而得。