第2章连续系统的时域分析
2.1 复习笔记
一、LTI连续系统的响应
1．微分方程的经典解
该微分方程的全解由齐次解y h（t）和特解y p（t）组成，即
齐次解y h（t）是微分方程的解。

y h（t）的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f（t）的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。

特解y p（t）的函数形式由激励信号确定，称为强迫响应。

2．零输入响应
激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应称为零输入响应，用表示。

在零
输入条件下，（2.1）式右端为零，化为齐次方程，即
若其特征根都为单根，则零输入响应为
式中为待定系数。

由于激励为零，故有初始值为
3．零状态响应
系统的初始状态为零时，仅由输入信号所引起的响应称为零状态响应，用表示。

此时（2.1）式如下
初始状态。

若微分方程特征根都为单根，则零状态响应为
式中为待定系数，为方程的特解。

4．全响应
如果系统的初始状态不为零，在激励f（t）的作用下，LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应和零状态响应之和，即。

二、关于初始状态的讨论
1．0－状态和0＋状态
0－状态称为零输入时的初始状态，即初始值是由系统的储能产生的；0＋状态称为加入输入后的初始状态，即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。

2．从0－状态到0＋状态的跃变
（1）当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－状态到0＋状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ（t）及其各阶导数。

（2）如果包含有δ（t）及其各阶导数，说明相应的0－状态到0＋状态发生了跳变。

3．0＋状态的确定
（1）已知0－状态求0＋状态的值，可用冲激函数匹配法。

（2）求0＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出，见第5章内容。

三、冲激响应和阶跃响应
1．冲激响应
由单位冲激函数δ（t）所引起的零状态响应称为单位冲激响应，记为h（t），即h（t）＝T[{0},δ（t）]。

2．阶跃响应
输入信号为单位阶跃函数ε（t）时系统的零状态响应，称为阶跃响应，即g（t）＝T[{0},ε（t）]。

四、卷积积分
1．卷积积分的定义
已知定义在区间（–∞，＋∞）上的两个函数f1（t）和f2（t），则定义积分
为f1（t）与f2（t）的卷积，记为f（t）＝f1（t）*f2（t）。

2．卷积的计算
（1）图解法的步骤为:换元→反转→平移→相乘→积分。

（2）解析法：利用定义式和性质计算。

五、卷积积分的性质
1．卷积的代数运算：满足交换律、分配律、结合律。

2．微分性质
3．积分性质
4．微积分性质
5．奇异函数的卷积
6．时移性质
若，则。

2.2 课后习题详解
2.1已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其零输入响应。

（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：（1）微分方程的特征方程为：λ²＋5λ＋6＝0，
特征根为：λ1＝－2，λ2＝－3，
微分方程的齐次解为：，
代入初始条件得：C1＝2，C2＝－1，
所以系统的零输入响应为：。

（2）微分方程的特征方程为：λ²＋2λ＋5＝0，
特征根为：λ1，2＝－1±j2，
微分方程的齐次解为：，
激励为0，代入初始条件得：C1＝2，C2＝0，
所以系统的零输入响应为：。

（3）微分方程的特征方程为：λ²＋2λ＋1＝0，
特征根为：λ1，2＝－1，
微分方程的齐次解为：，
代入初始条件得：C1＝1，C2＝2，
所以系统的零输入响应为：。

（4）微分方程的特征方程为：λ²＋1＝0，
特征根为：λ1，2＝±j
微分方程的齐次解为：
激励为0，代入初始条件得：y zi（0－）＝C1＝2，y zi′（0－）＝C2＝0，
所以系统的零输入响应为：y zii（t）＝2cost，t≥0。

（5）特征方程为：λ³＋4λ²＋5λ＋2＝0，
特征根为：λ1＝λ2＝－1，λ3＝－2，
微分方程的齐次解为：，
代入初始条件得：，
所以系统的零输入响应为：。

2.2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其0＋值y（0＋）和y'（0＋）。

（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）方程右端不含有冲激项，y（t）及其各阶导数不发生跃变，则
y（0＋）＝y（0－）＝1，y′（0＋）＝y′（0－）＝1
（2）将f（t）＝δ（t）代入微分方程，有
y″（t）＋6y′（t）＋8y（t）＝δ″（t）①可见y″（t）中含δ″（t）。

设。