*
），
则 am an a p aq
则 am an a p aq
3． Sn ， S2n Sn ， S3n S2n 成等差数列 3． Sn ， S2 n Sn ， S3n S2 n 成等比数列
6.在等差数列｛ an ｝中 ,有关 Sn 的最值问题： (1)当 a1 >0,d<0 时，满足
am am 1
0
【解析】可分别求得
51 2
5 1 ， [ 5 1] 1 . 则等比数列性质易得三者构成等比数列
2
2
（ 2009.10 ） 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图 1 中的 1， 3， 6， 10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数
称图 2 中的 1， 4， 9，16，…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是
设公差为 d ，则由 a6
a3 3d ，得 d
2． Sn
n a1 an 2
nn 1
na1
d
2
2． Sn
na 1 q 1 a1 1 q n
1q
a1 an q q 1 1q
1． a, b, c成等差 2b a c ，
1． a,b,c成等比
2
b ac ，
称 b 为 a 与 c 的等差中项
称 b 为 a 与 c 的等比中项
2．若 m n p q（ m 、n 、p 、q * ）， 2．若 m n p q（ m 、n 、p 、q
) ，求数列
{
bn } 的前
n 项和 Sn
（Ⅰ）解法一：设等差数列 an 的公差为 d，则依题设 d>0
由 a2 a7 16 ，得 2a1 7 d 16
①
由 a3 a6 55, 得 (a1 2d )( a1 5d ) 55
②
由①得 2a1 16 7d 将其代入②得 (16 3d )(16 3d ) 220 ，
an
S1 , ( n 1) an
S n S n 1 , ( n 2)
5．等差数列与等比数列对比小结：
等差数列
等比数列
一、定 义
an an 1 d ( n 2)
an an 1
q ( n 2)
1． an a1 n 1 d
1． an a1qn 1
二、公 式
三、性 质
an am n m d, n m
an amqn m ,( n m)
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数列
1.数列的有关概念： （ 1） 数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数
N* 或它的有限子集 {1,2,3, … ,n }
上的函数。
（ 2） （ 3）
通项公式：数列的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。
解析法：用通项公式表示。
（ 4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：
有穷数列 按项数
无穷数列
4．数列 {a n} 及前 n 项和之间的关系 :
按单调性
常数列 : a n 2
递增数列 : an 2 n 1, a n 2 n
递减数列 : an
n2 1
摆动数列
: an
n
( 1) 2 n
Sn a1 a2 a3
如 : an 2n2 1。
递推公式：已知数列 {a n} 的第 1 项（或前几项），且任一项 an 与他的前一项 an-1（或前几项）可以用一个公
式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。
如: a1 1,a2 2, an an 1 an 2 ( n 2) 。
2．数列的表示方法：
（ 1） （ 3）
列举法：如 1，3，5， 7， 9，… （ 2）图象法：用（ n, an）孤立点表示。
4） 12 22 32
n2
1 n(n 1)( 2n 1)
6
1
11
5）
n(n 1) n n 11Biblioteka 11 111 11
(
) 6)
(
) ( p q)
n( n 2) 2 n n 2
pq q p p q
[ 注 ]：熟悉常用通项： 9， 99， 999， … an 10 n 1； 5， 55， 555，… an 5 10n 1 . 9
即 256 9d 2 220
d 2 4,又 d 0, d 2,代入 ①得a1 1 an 1 (n 1) 2 2n 1
解法二：由等差数列的性质得：
a2 a7
a3a6 55 a3 a6 ，∴ a3 a6 16
由韦达定理知， a3, a6 是方程 x2 16x 55 0 的根，
解方程得 x 5 或 x 11
09-13 高考真题
（ 2009.9 ） 设 x R, 记不超过 x 的最大整数为 [ x ], 令{ x }= x -[ x ] ，则 { 5 1 } ，[ 5 1 ],
2
2
A. 是等差数列但不是等比数列
B.
是等比数列但不是等差数列
51 2
C. 既是等差数列又是等比数列 【答案】 B
D.
既不是等差数列也不是等比数列
A.289 【答案】 C
B.1024
C.1225
D.1378
; 类似地，
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【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项
an
n (n
1) ，同理可得正方形数构成的数列通项
2
bn
n2 ，则由 bn
n 2 (n N ) 可排除 A、 D，又由 a n
n (n 1) 知 a n 必为奇数，故选 C.
含阶乘的数列等。
3.错位相减法 :适用于 a nbn 其中 { an } 是等差数列， bn 是各项不为 0 的等比数列。
4.倒序相加法 : 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 .
8.常用结论 1) 1+2+3+...+n =
n(n 1) 2
3） 13 23
2
n3
1 n( n 1)
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) = n2
的项数
0
m 使得 sm 取最
大值 . (2) 当 a1 <0,d>0 时，满足
am am 1
0
的项数
0
m 使得
sm 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时
,
注意转化思想的应用。
7.数列求和的常用方法 1. 公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
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c 2.裂项相消法 :适用于 an an 1 其中 { an } 是各项不为 0 的等差数列， c 为常数；部分无理数列、
2
（ 2009.19 ）（本小题满分 12 分）
已知 { an } 是一个公差大于 0 的等差数列，且满足 a3a6 55, a2 a7 16
（Ⅰ）求数列 { an } 的通项公式：
（Ⅱ）若数列 { an } 和数列 { bn } 满足等式： an ＝ b1 2
b2 22
b3 23
...
bn 2n
(n为正整数