第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1、（易）设任意二维随机变量（X ，Y ）的两个边缘概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则以 下结论正确的是（ ） A.⎰+∞∞-=1)(dx x f XB.⎰+∞∞-=21)(dx y f Y C.⎰+∞∞-=0)(dx x f X D.⎰+∞∞-=0)(dx y f Y2、（易）设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~（ ） A. 211(,)N μσB. 221(,)N μσC. 212(,)N μσ D. 222(,)N μσ 3、（易）设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2+y 2≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为（ ） A. f(x ，y)=1B. 1(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩，（,）,其他C. f(x ，y)=1πD. 1(,)0,x y D f x y π⎧∈⎪=⎨⎪⎩，（,）,其他4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）.A .1,0.8,(,)0,.x y F x y +>⎧=⎨⎩其他 B .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt ey x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt e y x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x e y x F yx5、（易）设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<,,0;20,20,41其他y x则P{0<X <1，0<Y <1}=（ ） A ．41 B ．21C ．43D ．16、（中等）设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为则有（ ）A ．92,91==βαB ．91,92==βαC ．32,31==βαD ．31,32==βα7、（中等）设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F(,x y ). 其联合概率分布律为YX 01 2 -1 0 0 0 2则F （0,1）=（ ） A.B. C. D.8、（难）设随机变量X 和Y 相互独立，且X ~N (3,4)，Y ~N (2,9)，则Z=3X -Y ~（ ） A. N (7，21) B. N (7，27) C. N (7，45) D. N (11，45)9、（难）设随机变量X ，Y 相互独立，且X ~N （2，1），Y ~N （1，1），则（ ） {X -Y ≤1}=21B. P{X -Y ≤0}=21C. P{X +Y ≤1}=21 D. P{X +Y ≤0}=21 10、（易）设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=∞+),(x F （ ） A ．0 B ．)(x F X C ．)(y F Y D ．1二、填空题11、（易）设随机变量X ，Y 相互独立，且P{X ≤1}=21，P{Y≤1}=31，则P{X ≤1,Y ≤1}=___. 12、（易）设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则(,)F -∞-∞=______.13、（中等）设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为⎩⎨⎧>>--=--,,0,0,0),e 1)(e 1(),(其他y x y x F y x ，则当x >0时, X 的边缘分布函数F X (x )=__________.14、（易）已知当0<x <1,0< y <1时，二维随机变量(X,Y ）的分布函数F(x ,y ) =22x y ，记（x ,y ）的概率密度为f (x ,y ) ，则f (1148，）=__________.15、（中等）设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则{}=≤<2,1Y X P ______.16、（易）设二维随机变量(X ，Y )的概率密度 f (x ,y )=⎩⎨⎧≤≤≤≤，y x ，其他,0,10,101则P {X +Y ≤1}=____.17、（中等）设随机变量XY =X 2，记随机变量Y 的分布函数为F Y （y ），则F Y （3）=__________. 18、（易）设随机变量X 和Y 相互独立，它们的分布律分别为，则{}==+1Y X P ___________.19、（易）设二维随机变量(X,Y)的分布律为则P{XY=0}=__________.三、计算题20、（中等）.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码 为X ，最大的号码为Y .（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） 求关于X 和关于Y 的边缘分布； （3） X 与Y 是否相互独立 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表3 4 5{}i P X x =13511C 10= 3522C 10= 3533C 10= 610 23511C 10= 3522C 10= 310 3 02511C 10= 110{}i P Y y =110 310 610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立21、（中等）某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名，现从8名委员中随机指定3名担任学生会主席，设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：（1）（X,Y ）的联合分布律；（2）X,Y 的边缘分布.231 41 YXP(X=0,Y=0)=C(3,3)/C(8,3)=1/56 P(X=0,Y=1)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56 P(X=0,Y=2)=C(3,1)*C(3,2)/C(8,3)=9/56 P(X=0,Y=3)=C(3,3)/C(8,3)=1/56 P(X=1,Y=0)=C(2,1)*C(3,2)/C(8,3)=6/56 P(X=1,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)*C(3,1)/C(8,3)=18/56 P(X=1,Y=2)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=6/56 P(X=2,Y=0)=C(2,2)*C(3,1)/C(8,3)=3/56 P(X=2,Y=1)=C(2,1)*C(3,1)/C(8,3)=3/56 X 边缘分布 Y Y Y Y P(X=i) 0 1 2 3X 0 1/56 9/56 9/56 1/56 5/14 X 1 3/28 9/28 3/28 0 15/28 X 2 3/56 3/56 0 0 3/28Y 边缘分布 P(Y=j) 5/28 15/28 15/56 1/56 122、（中等）设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为求：（1）常数c ;∫f(x,y)dxdy=∫cxydxdy=c ∫xdx ∫ydy =c(1/2*x^2|从0到2)(1/2*y^2|从0到1) =c(1/2*2^2-0)(1/2*1^2-0) =c*2*1/2=c 并且∫f(x,y)dxdy=1⎩⎨⎧≤≤≤≤=.,0;20,20,),(其他y x cxy y x f所以c=1（2）求（X ，Y ）分别关于X ，Y 的边缘密度);(),(y f x f Y X （3）判定X 与Y 的独立性，并说明理由； （4）求P {}1,1>>Y X .23、（较难）设随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)(arctan )(arctan )23xy F x y A B C =++，试求：（1）常数A 、B 、C （2）试问X 与Y 是否独立（3）求X 与Y 的联合概率密度函数 F(x,y)=A(B+arctanx/2)(C+arctany/3) F(-∞,-∞)=A(B-π/2)(C-π/2)=0 F(-∞,+∞)=A(B-π/2)(C+π/2)=0 F(+∞,-∞)=A(B+π/2)(C-π/2)=0 F(+∞,+∞)=A(B+π/2)(C+π/2)=1 解得：A=1/π^2,B=π/2,C=π/2 F(+∞,y)=1/2+1/π*arctan （y/3) F(x,+∞)=1/2+1/π*arctan （x/2) F(x,y)=F(+∞,y)×F(x,+∞) X 和Y 相互独立. (X,Y)的联合概率密度：6/(11π)(π/2+arctan x/2)(π/2+arctan Y/3)24、（中等）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为()()602,24,0k x y x y f x y ⎧--<<<<=⎨⎩求： （1）常数k ；（2）(,)X Y 关于X ,Y 的边缘概率密度(),()X Y f x f y ； （3）{}4P X Y +<. 【解】（1） 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故18R =(3)24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y+≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图25、(中等）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为其他()()2360,0,0x y ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩求： （1）(,)X Y 关于X ,Y 的边缘概率密度(),()X Y f x f y ； （2）判断随机变量X 与Y 是否独立26、（中等）设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在[0，4]上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e 求X 和Y 的联合概率密度(,)f x y .【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他. 其他故/21e01,0, (,),()()20,.yX Yx yf x y X Y f x f y-⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图。