q
h h x
(1)
(2)
x a,
x s 0, xy s 0
s xy s
a
y
(3) (4)
y h, y
q, 0 y h, 0, 0
y s xy s
注： x = 0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果： u 0, v 0.
左侧面： l cos , m sin

x y tan f x y cos f y y sin
x ( cos ) xy ( sin ) y cos
y ( sin ) xy ( cos ) y sin
右侧面：l cos , m sin
x y tan fx f y 0
cos x sin xy 0 sin yx cos xy 0
例2、如图所示，试写出其边界条件。
v u s 0 u 0, 0 x 0, y x vs 0
六、 物理方程 七、 边界分类及边界条件 八、 圣维南原理 九、 弹性力学问题的求解方法 十、 按位移求解平面问题 十一、按应力求解平面问题 相容方程 十二、常体力情况下的简化 相容方程 十三、应力函数 相容方程 逆解法与半逆解法
一、平面问题
平面应力问题、平面应变问题 平面应力问题 平面问题
特殊的几何形状 空间问题 特殊的受力情况
xy
2(1 ) xy E
注： (1) 平面应变问题中 z 0 ，但 z ( x y ) (2)平面应变问题 物理方程的另一形式 两类平面问题物理方程的转换：自习
七、边界分类及边界条件 边界条件： 建立边界上的物理（几何）量与内部物理（几何）
量间的关系是力学计算模型建立的重要环节。 （1）位移边界
u u v v l l 1 m m1 x y y x
2 2
2
2
略去二阶小量后
1 2 r l 2 (1 2
简化后
u u v v ) 2lm m 2 (1 2 ) 2lm x y y x
第二章 平面问题的基本理论
要点—— 建立平面问题的基本方程和方程的求解方法
包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；
边界条件的描述；方程的求解方法等
主要内容
一、 二、 三、 四、 五、 平面问题 平面应力问题、平面应变问题 平衡微分方程 斜面上的应力 力边界条件 几何方程 刚体位移、斜方向的正应变
x
yx
A
y
xy N
B
px
N
P
N
N l x m y 2lm xy
2 2
py
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy
（3）主应力与主应力方向：
参考材料力学自习
四、力边界条件
O P
y yx
dx dy ds
x
类似于斜面上应力分量分析过程 平面问题的应力边界条件
v dy y
u
u dy y


xy
v u x y
u x x v y y v u xy x y
——几何方程
2. 刚体位移 ：
自习
3. 斜方向的正应变
O x P(x,y) N P1
问题：已知 x , y , xy，求任意方向的线 应变εr 和线段夹角的变化。
cos( N , x) l
cos( N , y) m
dx ds m
dy ds l
y
x xy
P
y yx
dx dy ds
x
A
px
B
py
P
N
外法线
F
x
0,
x dy 1 yx dx 1 pxds 1 0
x ds l 1 yx ds m 1 pxds 1 0
x x ( x, y) y y ( x, y) xy yx xy ( x, y)
符合以上三条的弹性力学问题成为平面应力问题
其它应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
2. 平面应变问题 (1)几何特征：无限长、等截面棱柱体
水坝 (2)外力特征：外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿
长度 z 方向不变化。 (3)应变、应力特征：任一横截面都是对称面，则有，w=0, 即 zx xz 0 zy yz 0 z 0 应力分量有 x , y , z , xy ，其中 z不独立，可以用 x , y 表示。 独立的应力分量仅有 x , y , xy ，仅为x,y的函数，与z无关 符合以上三条的弹性力学问题成为平面应变问题
E y 1 ( y x) E 2(1 ) xy xy E
注：
x 1 ( x y)
x E 2 ( x y ) (1) 1
y
E ( ) —— 物理方程的另一形式 y x 1 2
xy
(2)
设 P 点的坐标为 (x，y)，N 点的坐标为 （x+dx，y+dy），PN 的长度为 dr，PN 的方向余弦为：
v
y
u
cos( PN , x) l , cos( PN , y) m
于是PN在坐标轴上的投影为：
N1
dx ldr , dy mdr
N点位移：
u u u N u du u dx dy x y v v vN v dv v dx dy x y
x xy
y
A
fx
f
l x m yx f x l xy m y f y
其中， f x
B
fy
N
外法线
f y 为面力分量
五、几何方程 1. 几何方程
刚体位移、斜方向的应变
O x
一点的变形：
线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； y
u
P u
u dx x v dx x
其它应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。
二、平衡微分方程 O
y
x
P D
x
yx
fx
fy
M
x x dx x
xy
D
0
xy yx 剪应力互等
A
y
yx
xy
yx y
B
C

dy
xy x
x dx)dy 1 x dy 1 Fx 0 ( x x yx ( yx dy)dx 1 yx dx 1 dx
px l x m yx
F
y
0,
p y m y l xy
（2-4）
（2）斜面上的正应力与剪应力
O P
P px p y N N
根据合矢量投影定理 N lp x mpy 正应力 N lp y mpx 剪应力
y
x
dx dy ds
或 dr dr r dr
2 dr r dr 2 dr
两边同除以 (dr)2，得
(dx
u u v v dx dy ) 2 (dy dx dy ) 2 x y x y
dx u dx u dy dy v dx v dy (1 r ) 2 dr x dr y dr dr x dr y dr
变形后的P1N1在坐标方向的投影：
u u dx u N u dx dx dy x y v v dy vN v dy dx dy x y
设PN变形后的长度 P1N1=dr′， PN 方向的应变为εr，由应变的定义：
dr dr r dr
E 2(1 ) xy
z
z 0

E
( x y )
2、平面应变问题的物理方程
在平面应变问题中 由第三式，得
z yz zx 0
z ( x y )
1 2 x ( x y) E 1 2 1 y ( y x) E 1
Su
三类边界
O q
x
边界分类 （2）应力边界 S
（3）混合边界
f
S
1、位移边界条件
位移分量已知的边界 —— 位移边界
y
Su
S S Su
用us 、 vs表示边界上的位移分量，u, v 表示边界上位 移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：
u s u vs v
2、应力边界条件uP Nhomakorabeau
A

u dx x
v dx x
v
P
PB的正应变：

B
v
y
v v dy v y v dy y
B y
A
v
P点的剪应变： P点两直角线段夹角的变化 xy
v v dx v x v tan dx x u u dy u y u tan dy y
平面应变问题
x
1. 平面应力问题 (1)几何特征：等厚薄板
a b t
z
y
y
(2)受力特征： 板表面不受力。板边沿受的面力和体内受的 体力平行于板面作用，沿 z 方向不变化。
(3)应力特征：由于板面上不受力，有： z 0 zx
0 zy 0