当ΔS很小时，这个集度的极限就称为应力，
表示为：
ΔF
fv
F lim s0 S
ΔS
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在给定的直角坐标系下，应力可沿3个坐标方向分 解，分别表示为：f xv, , f yv zv 。则有：
fv f xv e1 f yv e2 f zv e3
这里的 e1 ，e 2 ，e 3分别表示坐标单位矢量。
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如果仅考虑单元体的平衡，可以不考 虑单元体同一方向上相隔一定距离应 力的微小变化，前后两面的应力可认 为是大小相等、方向相反。
但是，在分析整体的平衡时，应力的 这个微小变化，各面的应力差就是造 成物体各处应力变化的原因，必须加 以考虑。
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xz
xz
x
d
x
z
oy x
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y
d
y
设Fbz 为物体的Z方向的体力分量。
总和后整理便得到z方向的静力平衡方程 ∑Z=0:
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同理得到x、y方向的静力（或运动）平衡微分方程:
或 2u
t2
或 2v
t2
其中Fbx, Fby, Fbz 为物体的体力分量。
或 2w
( ij ) =
xx yx
zx
xx yx
zx
yxx zx
xy yy
xz yz
zy zz
xy yy
xz yz
zy zz
xy y
xz yz
zy z
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2.2 应力和一点的应力状态
根据物体连续性的假设，可认为物体在微小 面上的ΔS力是连续分布的，内力ΔF则是这个分 布力的合力，于是分布集度为：即平均力。
标量与坐标轴的选取无关，但矢量分量和应力分 量和坐标轴的选取有关，这种与坐标变换有关，满足 规定坐标变换公式的物理量称为张量。
标量称为零张量，矢量为一阶张量，矩阵（方阵） 是二阶张量。
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应力张量：一点的应力状态，它具有二重方向性， 即应力分量的值既与截面法线的方向有关又与应力 分量本身的方向有关，是二阶张量，可记为( ij ) 。
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9个应力分量可以完全确定一点的应力状态。
x xy xz
ij yx y yz
zx
zy
z
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2.3 平衡微分方程
在外力作用下，物体整体平衡的同时，任何一部 分也将保持平衡。我们从中取出一个单元体
dv=dxdydz加以分析,物体内某点的正应力为σi。
应力矢量又可分别沿微分面的法向和切向方向分
解，分别表示为正应力 v和切应力 v 。
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一点的应力状态
通过物体内一点可以作无数个方位不同的微 分面，各微分面上的应力一般各不同，我们把物 体内同一点各微分面上的应力情况，称为一点的 应力状态。
在笛卡尔坐标系下，我们分别沿平行于坐标 平面的3个微分面方向进行应力分解后，可得到9 个应力分量，我们将他们整体称为应力张量，其 中的每一个量称为应力分量。应力张量表示为：
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2.1 张量的概念与坐标变换
一 指标符号 (1)量与数：任何一个量都是客观对象的数学表征，
通常是由若干个数字给出的，最简单的量称为 标量，由一个数字确定。矢量有大小、方向， 就不能只用一个数值表示，由若干分量组成， 引入下标记号法。
可以将坐标x, y , z 轴，记为x1, x2, x3, 通常可简 记为xi,各轴的基矢记为e1,e2,e3,可简记为ei, 在此坐标 系中的矢量v的分量记为v1, v2, v3, 可简记为vi。
该定义表明它有 对称性，与指标 排列顺序无关，
即：δij＝ δji
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记基矢的混合积
(e i ×e j ）·e k = e ijk
其中
当i, j, k为偶置换
当i, j, k为奇置换 当i，j，k有两个或三个相同
称为置换符号。利用置换符号，两个 矢量的矢积可记为
a i ×b j = e ijk ai bjek
V v1e1 v2e2 v3e3 viei
矢量的点积: 一个矢量和另一个矢量的点积可 以决定一个标量，用指标符号可记为:
W F • S f1s1 f2s2 f3s3 fisi
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f 3 s3
(2) Einstein求和约定：最后一个等式在符号∑ 下fi si 有两个同样的指标i。约定凡在同一项中有一对相 同的指标（也就是一个指标出现两次时），就认 为是对这一指标从1到3全程求和，并限定在同一 项中不能有同一下标出现3次或3次以上，求和符 号略去不写，记为：
第二章 应力状态理论
应力的概念是固体力学的最重要的概 念之一,应力分量具有张量的性质，符 合张量的坐标变换规律。
考虑单元体的平衡，得到平衡微分方 程，在边界上得到边界条件，边界条 件在弹性力学问题的求解中占有重要 的地位。
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2.1 张量的概念与坐标变换 2.2 应力和一点的应力状态 2.3 平衡微分方程 2.4 边界条件 2.5 主应力和应力张量不变量 2.6 转轴时应力张量的变换 2.7 圣维南原理 2.8 例题
w fi si
求和所得到的结果，不再含有这一指标，这 一指标换为其它的指标也不会影响其结果，这 一指标称为哑标。
不求和的指标称为自由指标。一项中有相它 符号的指标，通常有泛指的意义。
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记基矢的点积
e i ·e j = δij 其中
称为克罗内克尔 代尔塔符号 (Kronecker delta)。
图示单元体z轴方 向的平衡，在z面的负 面z处，正应力记为σz,
z正面z+dz处应力为
τxz
z
z
z
d
z
在x面的负面处，切应力
记为τxz；
x正面x+dx处切应力为
xz
xz
x
d
x
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τyz
z oy
x
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在y面的负面y处，切应 力记为τyz,
y正面y+dy处应力为
yz
yz
y
d
y
yz
yz
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将求导符号简记为：
( ) xi
(
),i
梯度可记为：
e1
x1
e2
x2
e3
x3
,iei
则散度可记为：
•v
v1 x1
v2 x2
v3 x3
vi,i
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二 张量的定义
在力学中常用的物理量（或几何量）可分为几 类：标量（只有大小没有方向）；矢量（既有大小 又有方向）；张量（具有多重方向性的更为复杂的 物理量）