泛函变分由（5-2）式改为
Jtf t0
XT X Fd d(t X F ) d tXT X F tt0 f
向量欧拉——拉格朗日方程为
式中
F X
X Fd dt( X F )0
F
x1
F
x
2
F
x n
F
x 1
F
F X
x 2
F
x n
(5-11)
F xx ,x x ,t F x ,x ,t d
t
tt0 f F xx F x & x & o (x )2 ,(x & )2 d t
上式中 o[(x)2,(x & )2]是高阶项。
（泰勒级数展开）
根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
主部，即
J
tf t0
F xx F x x dt
第五章 用变分法解最优控制 —泛函极值问题
本章主要内容
➢ 5.1 变分法基础 ➢ 5.2 无约束条件的泛函极值问题 ➢ 5.3 有约束条件的泛函极值——动态系
统的最优控t f 制问题 ➢ 5.4 小结
在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极 值问题的有力工具是变分法。所以下面再次列出变 分法中的一些主要结果，可对照微分学中的结果来 理解，以加深印象及理解。
的线性主部。
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则
称 J (X ) 在 XX*处有极值。
定理：J (X ) 在 XX*处有极值的必要条件是对 于所有容许的增量函数 X（自变量的变分）， 泛函 J (X )在 X *处的变分为零
J(X*,X)0
横截条件为（自由端点情况）
F X
0
（分以下 t t0 和 t t f 两种情况：）
例5-1 求通过点（0，0）及（1，1）且使
J 1(x2 x2)dt 0
取极值的轨迹 x * (t )。
解 这是固定端点问题，相应的欧拉——拉格朗日方
程为 即
2x d (2x) 0 dt
x x0
它的通解形式为
则称J (X )在 Xˆ 处是连续的。
3、线性泛函：满足下面条件的泛函称为线性泛函
齐次性： JXJX
叠加性： J(X Y ) J(X ) J(Y )
这里是实数，X和 Y是函数空间中的函数。
4、自变量函数的变分：自变量函数 X (t)的变分 X
是指同属于函数类X(t)中两个函数X1(t) 、X2(t) 之差
5.2.2 泛函的自变量函数为向量函数的情况
现在，将上面对 x(t) 是标量函数时所得到的公式推 广到X (t)是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
式中
J tf F(X,X,t)dt t0
x1(t)
X
x
2
(
t
)
x n (t)
x1 ( t )
X
x2
(
t
)
xn
(
t
)
(5-9) (5-10)
x(t)AchB t sht
式中：
Sht—双曲正弦函数 Cht—双曲余弦函数
ch e tt et , she tt et
2
2
由初始条件 x(0) 0 ，可得A=0。
再由终端条 件 x(1) 1 ，可得 B1 sh1， 因而极值轨迹为
为了判别是极大还是极小，要计算二阶变 分 2J。但在实际问题中根据问题的性质容易
判别是极大还是极小，故一般不计算 2J 。
5.2 无约束条件的泛函极值问题
5.2.1 泛函的自变量函数为标量函数的情况
为简单起见，先讨论自变量函数为标量函数 （一维）的情况。我们要寻求极值曲线 x(t)x*(t)， 使下面的性能泛函取极值
5.1 变分法基础回顾
相关的定义：
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
数X (t)，有一个实数值J与之相对应，则称J为依赖于
函数X (t) 的泛函，记为
JJX(t)
简单来说，泛函是以函数为自变量的函数。
2、泛函的连续性：若对任给的 0，存在 0
当 X(t)Xˆ(t) 时，就有
J(X)J(Xˆ)
XX 1(t)X2(t)
这里, t 看作为参数。当 X (t) 为一维函数时，X 可用图5-1来表示。
图5-1自变量函数的变分
5、泛函的变分：当自变量函数 X (t)有变分X时， 泛函的增量为
J J X X J X
JX,XX
这里，JX,X是X 的线性泛函，若 X 0时， 有 0，则称JX,X是泛函 JX的变分。J 时，（5-4）式自然为零。
2、自由端点的情况
这时 x(t0 )和 x(t f ) 可以发生化，x(t0)0,x(tf)0，
而且可以独立地变化。于是要使（5-2）中第二项 为零，由（5-4）式可得
F (x )ttf
x(tf )0
F (x)tt0
x(t0)0
（5-5） （5-6）
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
tf t0
u
dvu
vtf t0
tf vdu t0
Jtf t0
F xd d(t F x )xd tF x xtt0 f
（5-2）
J取极值的必要条件是 J 等于零。因 x是 任意的，要使（5-2）中第一项（积分项）为 零，必有
Fd(F)0 x dt x
（5-3）
上式称为欧拉——拉格朗日方程。
（5-2）式中第二项为零的条件要分两种情况来讨论：
1、 固定端点的情况
这时 x(t0)x0,x(tf)xf ，它们不发生变化，所 以 x(t0)x(tf)0。而（5-2）中第二项可写成
F tf F
F
x x t0
(x )ttf
x(tf)(x )tt0
x(t0)
J tf Fx(t),x (t)t,dt t0
（5-1）
为此，让自变量函数 x (t )、x(t)在极值曲线x * (t)、x*(t)附
近发生微小变分x、x，即
x(t)x*(t)x(t)
x (t) x * (t)x (t)
于是泛函J 的增量J 可计算如下（以下将*号省去）
Jtf t0
因为这里讨论 x (t )是标量函数的情况，x(t0 ) 和 x(t f ) 也是标量，且是任意的，故（5-5）、（5-6）可化 为
（5-7）
（5-8）
（5-7）、（5-8）称为横截条件。
当边界条件全部给定（即固定端点）时，不需 要这些横截条件。当 x(t0 ) 给定时，不要（58）。当 x(t f ) 给定时，不要（5-7）。