铁人中学模拟训练(四)数学（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，Z 为整数集，则集合Z A ⋂中所有元素的和为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 2.已知1,1xyi i=-+其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为 （ ） A ．2i + B. 2i - C ．12i + D ．12i -3.若框图所给的程序运行结果为S =90．那么判断框中应填人后的条件是 ( )A.k=9 B ．k ≤8 C ．k<8 D ．k>84. 圆2222x y x y +=+上到直线10x y ++= 的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 5.给出下面四个结论：①命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题； ②把2015化为八进制数为(8)1037 ；③命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．④“平面α//平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中正确命题的个数是（ ）A.1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 在等差数列{}n a 中，16,7523=+=a a a ，设21()1n n b n N a *=∈-， 则数列{}n b 的前n 项和n S 为（ ）A ．1n n + B ．()141n + C ．()41n n + D ．14n n - 7.设函数na x x f )()(+=,其中⎰=20cos 6πxdx n ,3)0()0(-='f f ,则)(x f 的展开式中4x 的系数为( )A ．360-B ．360C ．60-D ．608. 三棱锥ABC P -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形 ，⊥PA 平面62,==AB PA ABC 则该球的体积为（ ）A. π316B. π332C. π48D. π3649.假如今年省运会给岭师附中高中三个年级7个自主推荐的志愿者名额，则每个年级至少分到一个名额的方法数为( ) A ．10 B ．35 C ．21 D ．3010.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=＞＞与双曲线2C 1422=-y x 有公共的焦点,2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则 A. 2132a =B. 213a =C. 212b =D. 22b = 11.在ABC ∆中，E 为AC 上一点，且4AC AE =，P 为BE 上一点，且(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则11m n+取最小值时，向量a (,)m n =的模为（ ） A ．45 B ．66 C ．65 D ．2 12.若函数)(x f y =满足，存在00≠x ，001x x ≠，使0)1()(00==x f x f ，则0x 叫做函数)(x f y =的“基点”，已知函数1)(23+++=bx ax x x f 存在“基点”，则22)2(-+b a 的取值范围是（ ）正视图侧视图俯视图22111PDCBA A.),2[+∞ B.),4[+∞ C.),8[+∞ D.),10[+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知()()1sin 1cos 1αα+-=，则()()1sin 1cos αα-+= 14.某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱 的棱长为15.设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数231z x y =++的最大值为16. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分.17(1).已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c , 若△ABC 的外接圆的半径为 2 ，且sin sin ()sin .a A c C a b B -=- （1）求∠C ；（2）求△ABC 的面积S 的最大值． 17(2).数列{}n a 的前n 项和13,2,1()2n n n S a S a n N *==-∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

18. (本小题满分12分)如图：四棱锥ABCD P -中，,321,==⊥BC AD AD PA BC AD PC ||,5=, 30,150,=∠=∠=PDA BAD AC AB（1）证明：⊥PA 平面ABCD（2）在线段PD 上是否存在一点F ，使直线CF 与平面PBC 成角正弦值等于41，若存在，指出点F 位置，若不存在，请说明理由. 19. (本小题满分12分)在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1~6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.（I ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（II ）X 表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望. 20. (本小题满分12分)设椭圆C 1：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图． 若抛物线C 2：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点． （1）求椭圆C 1的方程；（2）设M （0，45-），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值． 21. (本小题满分12分) 已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围； （2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *，22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.22. (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O 于点 APC C B ∠,,的平分线分别交AC AB ,于点D 、E .(1)证明：;AED ADE ∠=∠(2)若AP AC =，求PAPC的值. 23. 选修4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分10分)在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为ϕϕϕχ,0(sin ,cos >>⎩⎨⎧==b a b y a 为参数），且曲线1C 上的点)3,2(M 对应的参数3πϕ=.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线4πθ=与曲线2C 交于点)4,2(πD（1）求曲线1C 的普通方程，2C 的极坐标方程； （2）若)2,(),,(21πθρθρ+B A 是曲线1C 上的两点，求222111ρρ+的值。

24. （本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲） 设()f x =|1||1|x x -++. （1）求()2f x x ≤+的解集; （2）若不等式|1||21|()||a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的取值范围.铁人中学模拟训练(四)一、选择题：1.C2.B3.D4.B5.A6.C7.D8.B9.B 10.C 11.C 12.A ．1(0,)(7,)9+∞ B.1(,1)(1,3)9C.11(,)(3,7)95D.11(,)(5,3)73二、填空题：13. 223-14. 15.10 16.5三、解答题：17（1）3π, (2)233 17（2）18.19.20. （1）由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b=2．令y=0得210x -=即1x =±，则F 1(-1，0)，F 2（1，0），故c=1． 所以2225a b c =+=．于是椭圆C 1的方程为：22154x y +=．…………2分（2）设N （2,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：2(1)2()y t t x t --=-． 即221y tx t =--．……………………………4分代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-=4280(183)t t -++,21225(1)15t t x x t ++=+ ,221225(1)204(15)t x x t +-=+,故12PQ x =-==．设点M 到直线PQ 的距离为d，则d ．所以，MPQ ∆的面积S 12PQ d =⋅21t +==≤=当3t =±时取到“=”，经检验此时0∆>，满足题意． 综上可知，MPQ ∆的面积的最大值为5． 21. （1）[)1,+∞；（2）证明见解析.试题分析：（1）先求函数()f x 的定义域，再对函数()f x 求导，进而对a 的取值范围讨论确定函数()f x 在上的单调性，即可得a 的取值范围；（2）先结合（1），可知当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，进而可证2222221212ln 1ln 1ln 1n nn n n n nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简，即可证22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <，再结合（1），可知当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，进而可证2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n nn n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简，22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 试题解析：（1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>， 当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. ③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意.综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞.（2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立， 即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. ∴2222221212ln 1ln 1ln 1n n n n n n nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. 由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n nn n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n ∈N *，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n +-+-+--=≥=.∴12<ln 22212111n nn n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. 考点：1、用导数判断函数的单调性；2、参数的取值范围；3、用导数证明不等式；4、放缩法. 22.2324. (1)由()2f x x ≤+得： 201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪---≤+⎩或201112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩………3分 解得02x ≤≤所以()2f x x ≤+的解集为{|02}x x ≤≤ ………5分（2）|1||21|111112123||a a a a a a a+--=+--≤++-= 当且仅当11120a a ⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，取等号. ………8分由不等式|1||21|()||a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，可得|1||1|3x x -++≥ 解得：32x ≤-或32x ≥. 故实数x 的取值范围是33(,][,)22-∞-⋃+∞。