数 学 试 题时间：120分钟 分数：150分一、选择题（每题只有一个正确的答案，每小题5分，共60分） 1、已知πθ<<0，若51cos sin =+θθ，则θtan 的值为 ( )A ．34B ．43C ．34- D ．43- 2、若函数32)32()(-+=m xm x f 是幂函数，则m 的值为（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23、已知函数)2sin()(ϕ+=x x f 的图象关于直线8π=x 对称，则ϕ可能是（ ）A ． 2πB ． 4πC ．4πD ．43π4、将函数x y 2sin =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．x y 2cos 2= B ．x y 2sin2= C ．)42sin(1π+-=x y D ．x y 2cos =5、已知函数)(x f 是R 上的增函数，A （0，1-），B （3，1）是其图像上的两点，那么1|)1(|<+x f 的解集的补集．．为（ ） A ．()2,1 B ．()4,1 C ．[)+∞--∞,4)1,( D ．(][)+∞-∞-,21,6、一种放射性元素，最初的质量为500 g ，按每年10%衰减．则这种放射性元素的半衰期为(注：剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期)．(精确到0.1．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.3 7、对于任意的x R ∈，不等式03sin sin22≤-++mm x m x 恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．23-≤m B ．10≤<m C. 30≤<m D.23-≤m 或30≤<m—4π8、若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如右图所示，则ϕω和的取值是（ ）A ．3,1πϕω== B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==9、已知函数⎩⎨⎧≥<+-=1,1,4)13()(x a x a x a x f x是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( ) ．A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．)31,61[D ．11(,)6310、若0cos sin 3=+αα，则αα2sin cos 12+的值为( )A ．310 B ．35 C ．32 D ．－211、如果一个函数)(x f 满足：（1）定义域为R ；（2）任意12,x x R ∈，若120x x +=，则12()()0f x f x +=；（3）任意x R ∈，若0t >，总有)()(x f t x f >+,则)(x f 可以是（ ）A ．y x =-B ．x y 3=C ．3x y = D ．3log y x =12、设函数()()∞+∞，在-x f 上满足以7,2==x x 为对称轴，且在[]7,0上只有()()031==f f ，试求方程()0=x f 在[]2012,2012-根的个数为（ ）A ． 803个B ．804个C ．805个D ．806个二、填空题：（把正确的结果填写在横线上，每小题5分，共20分）13、函数xx xx x x f cos 22)4sin(2)(22++++=π的最大值为M ，最小值为m ，则=+m M ______________；14、设20≤≤x ,则函数212325x xy -=-⨯+的最大值是______________；15、函数)(x f 定义域为D ，若满足①)(x f 在D 内是单调函数②存在D n m ⊆],[使)(x f 在],[n m 上的值域为]2,2[n m ，那么就称)(x f y =为“希望函数”，若函数)1,0)((log )(≠>+=a a t a x f xa 是“希望函数”，则t 的取值范围为__________；16、函数)32sin(3)(π-=x x f 的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)； ①图象C 关于直线1211π=x 对称；②图象C 关于点)0,32(π对称；③函数)(x f 在区间)125,12(ππ-内是增函数；④由x y 2sin 3=的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C 。

三、解答题：（本题有6个小题，共70分） 17、(10分)已知βα、均为锐角，1010cos ,55sin ==βα，求βα-的值.18、（12分）设函数R x x x m x f ∈++=，2cos )2sin 1()(，且函数)(x f y =的图象经过点)2,4(π.（1）求实数m 的值；（2）求函数)(x f 的最小值及此时x 值的集合．19、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=，)sin()(ϕω，其中)20,0,0(πϕω<<>>A 的周期为π，且图象上一个最低点为)2,32(-πM .（1）求)(x f 的解析式； （2）当]12,0[π∈x 时，求)(x f 的最值．20、（12分）已知0)1(2lg )(=+=f b ax xx f ，，当0>x 时，恒有x x f x f lg )1()(=-.（1）求)(x f 的解析式；（2）若方程)lg()(x m x f +=的解集是Φ，求实数m 的取值范围.21、（12分）已知函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f .（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若)(x f 的值域为),0[+∞，求实数a 的取值范围.22、（12分）已知函数)(x f 的定义域为},|{Z k k x x ∈≠π，且对于定义域内的任何y x 、，都有)()(1)()()(x f y f y f x f y x f -+⋅=-成立，且)0(1)(的常数为大于a a f =。

当a x 20<<时，0)(>x f .（1）判断)(x f 奇偶性；（2）求)(x f 在]3,2[a a 上的最小值和最大值.数 学 参 考 答 案一、CACAD B B CCA CC 二、13、2； 14、25； 15、)41,0(； 16、①②③.三、解答题：17、（本题满分10分）解：由已知得552sin 1cos 2=-=αα ， 10103cos 1sin 2=-=ββ.∵βαsin sin <且α、β都是锐角，∴βα<. ∴02<-<-βαπ 又22sin cos cos sin )sin(-=-=-βαβαβα，∴4πβα-=-.18、（本题满分12分）解:(1)由已知++=)2sin 1()4(ππm f cos π2＝2，得m ＝1.(2)由(1)得f (x )＝1＋sin2x ＋cos2x ＝1＋2sin )42(π+x ，∴当sin )42(π+x ＝－1时，f (x )取得最小值1－2，由sin )42(π+x ＝－1得，2x ＋π4＝2k π－π2，即x ＝k π－3π8(k ∈Z ) 所以f (x )取得最小值时，x 值的集合为{x |x ＝k π－3π8，k ∈Z }. 19、（本题满分12分）解：(1)由最低点为)2,32(-πM ,得A ＝2，由T ＝π得ω＝2πT＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)． 由点)2,32(-πM 在图象上,得2sin )34(φπ+＝－2 即sin )34(φπ+＝－1，∴4π3＋φ＝2k π－π2 ,k ∈Z ， 即φ＝2k π－11π6，k ∈Z ， 又φ∈)2,0(π，∴k ＝1，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin )62(π+x .(2)∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈12,0πx ，∴2x ＋π6∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ， ∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1； 当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.20、（本题满分12分）解：（1）∵当0>x 时，恒有x x f x f lg )1()(=-.∴x abx bax x lg 2lg2lg=+-+，即0)()(2=---x b a x b a∵0≠x ，∴上式若恒成立则只有b a =.又0)1(=f ，即2=+b a ，从而b a ==1，∴12lg)(+=x x x f .（2）由)lg(12lg x m x x +=+知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++=+,012,12x x x m x x即⎩⎨⎧>-<=+-+，或01,0)1(2x x m x m x 由于方程)lg()(x m x f +=的解集是Φ.故有如下两种情况：①方程0)1(2=+-+m x m x 无解，即0<∆，解得223223+<<-m ； ②方程0)1(2=+-+m x m x 有解，两根均在[]0,1-内， 令m x m x x g +-+=)1()(2则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤-≥≥-≥∆,0211,0)0(,0)1(,0m g g即⎩⎨⎧≤≤+≥-≤,31223223m m m ，或 无解.综合①、②，实数m 的取值范围是223223+<<-m 21、（本题满分12分）解：（1）①若012=-a ，则1±=a .（i ）当1=a 时，6)(=x f ，定义域为R ，符合要求.（ii ）当1-=a 时，66)(+=x x f ，定义域不为R. ②若012≠-a ，)(x g =6)1(3)1(22+-+-x a x a 为二次函数， ∵)(x f 定义域为R ，∴)(x g 0≥对任意R x ∈恒成立.∴.1115,0)511)(1(,11,0)1(24)1(9,01222<≤-⇒⎩⎨⎧≤+-<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆>-a a a a a a a 综合①②得，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,115（2）∵)(x f 的值域为),0[+∞，∴函数 )(x g =6)1(3)1(22+-+-x a x a 取一切非负实数.∴.1151,0)511)(1(,11,0)1(24)1(9,01222-≤<-⇒⎩⎨⎧≥+-<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥---=∆>-a a a a a a a 当1-=a 时，66)(+=x x f 的值域是),0[+∞，符合题意. 故所求实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--115,1 . 22.解:（1）∵定义域{x | x ≠ k π，k ∈Z }关于原点对称，又f （- x ） = f [（a - x ） - a ]= f (a －x )·f (a )＋1f (a )－f (a －x )= 1＋f (a －x )1－f (a －x ) = 1＋f (a )·f (x )＋1f (x )－f (a )1－f (a )·f (x )＋1f (x )－f (a )=1＋1＋f (x )f (x )－11－1＋f (x ) f (x )－1 = 2f (x )－2 = - f （x ），对于定义域内的每个x 值都成立∴f(x)为奇函数…………………4分（1） 先证明f （x ）在[2a ，3a ]上单调递减，为此，必须证明x ∈（2a ，3a ）时，f （x ） < 0， 设2a < x < 3a ，则0 < x - 2a < a ， ∴ f （x - 2a ）=f (2a )·f (x )＋1f (2a )－f (x ) = - 1f (x )> 0，∴ f （x ）< 0…………2分设2a < x 1 < x 2 < 3a ，则0 < x 2 - x 1 < a ，∴ f （x 1）< 0 , f （x 2）< 0 , f （x 2 - x 1）> 0， ∴ f （x 1）- f （x 2）=f (x 1)·f (x 2)＋1f (x 2－x 1)> 0，∴ f （x 1）> f （x 2），∴ f （x ）在[2a ，3a ]上单调递减 ………………… 6分∴f （x ）max =f （2a ）= f （a + a ）= f [a -（- a ）]=f (a )·f (－a )＋1f (－a )－f (a )= 1－f 2(a )－2f (a )= 0， f （x ）min = f （3a ）= f （2a + a ）= f [2a -（- a ）]= f (2a )·f (－a )＋1f (－a )－f (2a )=1－f (a )= - 1.…………………12分。